L'essentiel en une page
| Expression | Formule |
|---|---|
| Analytique | \(\vec u\cdot\vec v = xx' + yy'\) |
| Avec l'angle | \(\lVert\vec u\rVert\lVert\vec v\rVert\cos\theta\) |
| Carré scalaire | \(\vec u\cdot\vec u = \lVert\vec u\rVert^2\) |
| Polarisation | \(\vec u\cdot\vec v = \frac12\left(\lVert\vec u+\vec v\rVert^2 - \lVert\vec u\rVert^2 - \lVert\vec v\rVert^2\right)\) |
Orthogonalité : \(\vec u\cdot\vec v = 0\). · Signe : \(>0\) angle aigu, \(<0\) angle obtus.
| Relation | Énoncé |
|---|---|
| Al-Kashi | \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat A\) |
| Aire | \(\mathcal{A} = \frac12\,bc\sin\widehat A\) |
| Médiane | \(MB^2 + MC^2 = 2MI^2 + \frac{BC^2}{2}\) |
| Distance point-droite | \(d = \dfrac{\lvert ax_0 + by_0 + c\rvert}{\sqrt{a^2+b^2}}\) |
Cercle : \((x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2 = R^2\) ; cercle de diamètre \([AB]\) : \(\vec{MA}\cdot\vec{MB} = 0\) ; tangente en \(T\) : droite passant par \(T\) de vecteur normal \(\vec{\Omega T}\).
Ce que je dois savoir faire
- Calculer un produit scalaire et un angle.
- Appliquer Al-Kashi et la formule de l'aire.
- Utiliser la relation de la médiane.
- Déterminer centre, rayon et tangente d'un cercle.
- Reconnaître un lieu géométrique (cercle) à partir d'une relation vectorielle.
- Calculer une distance d'un point à une droite.
Les pièges à éviter
- L'expression analytique suppose un repère orthonormé.
- Dans Al-Kashi, le signe de \(\cos\) renseigne sur la nature de l'angle.
- Pour une tangente, le vecteur normal est le rayon \(\vec{\Omega T}\).
- Dans la distance point-droite, ne pas oublier la valeur absolue.
Testez-vous en 3 minutes
\(\vec u(3\,;1)\cdot\vec v(2\,;-6)\) ? Nature de l'angle ? Rayon du cercle \(x^2+y^2-4x = 0\) ? Distance de \((0\,;0)\) à \(3x + 4y - 10 = 0\) ?
Réponses
\(0\) ; droit ; \((x-2)^2 + y^2 = 4\), donc rayon \(2\) ; \(2\).