Durée : 1 heure. Barème sur 20. Le repère est orthonormé.
Exercice 1 (5 pts)
\(A(0\,;2)\), \(B(4\,;5)\) et \(C(3\,;-2)\).
- Calculer \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\). (3 pts)
- En déduire la nature de l'angle en \(A\). (2 pts)
Correction
- \(\vec{AB}(4\,;3)\) et \(\vec{AC}(3\,;-4)\) : \(12 - 12 = 0\).
- L'angle en \(A\) est droit : le triangle est rectangle en \(A\).
Exercice 2 (5 pts)
Dans un triangle, \(AB = 5\), \(AC = 7\) et \(\widehat{A} = 60°\).
- Calculer \(BC\). (3 pts)
- Calculer l'aire du triangle. (2 pts)
Correction
- \(BC^2 = 25 + 49 - 2\times5\times7\times\dfrac12 = 39\), donc \(BC = \sqrt{39}\).
- \(\mathcal{A} = \dfrac12\times5\times7\times\sin 60° = \dfrac{35\sqrt3}{4} \approx 15{,}2\).
Exercice 3 (5 pts)
Soit le cercle d'équation \(x^2 + y^2 - 2x + 8y + 8 = 0\).
- Déterminer son centre et son rayon. (3 pts)
- Déterminer l'équation de la tangente au point \(T(1\,;-1)\). (2 pts)
Correction
- \((x-1)^2 + (y+4)^2 = 1 + 16 - 8 = 9\) : centre \(\Omega(1\,;-4)\), rayon \(3\).
- \(\vec{\Omega T}(0\,;3)\) est normal : \(0(x-1) + 3(y+1) = 0\), soit \(y = -1\).
Exercice 4 (5 pts)
\(A\) et \(B\) sont deux points tels que \(AB = 8\), et \(I\) est le milieu de \([AB]\).
- Rappeler la relation de la médiane. (2 pts)
- Déterminer l'ensemble des points \(M\) tels que \(MA^2 + MB^2 = 82\). (3 pts)
Correction
- \(MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \dfrac{AB^2}{2}\).
- \(2MI^2 + 32 = 82\) donne \(MI^2 = 25\) et \(MI = 5\) : le cercle de centre \(I\) et de rayon \(5\).