Série 2 — relations métriques, lieux géométriques et cercles. Le repère est orthonormé.
Exercice 1
\(A(1\,;-1)\), \(B(4\,;3)\) et \(C(-2\,;2)\).
- Calculer \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\).
- En déduire \(\cos\widehat{BAC}\).
Correction
- \(\vec{AB}(3\,;4)\) et \(\vec{AC}(-3\,;3)\) : \(\vec{AB}\cdot\vec{AC} = -9 + 12 = 3\).
- \(AB = 5\) et \(AC = 3\sqrt2\), donc \(\cos\widehat{BAC} = \dfrac{3}{15\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{10}\).
Exercice 2
Démontrer la relation de la médiane : si \(I\) est le milieu de \([BC]\), alors
Correction
\(\vec{MB} = \vec{MI} + \vec{IB}\) et \(\vec{MC} = \vec{MI} + \vec{IC} = \vec{MI} - \vec{IB}\). En élevant au carré et en additionnant : \(MB^2 + MC^2 = 2MI^2 + 2IB^2\), et \(IB = \dfrac{BC}{2}\), d'où le résultat.
Exercice 3
Déterminer l'ensemble des points \(M\) tels que \(\vec{MA}\cdot\vec{MB} = 0\), avec \(A(0\,;0)\) et \(B(6\,;8)\).
Correction
C'est le cercle de diamètre \([AB]\) : centre \(\Omega(3\,;4)\) et rayon \(\dfrac{AB}{2} = 5\). Son équation est \((x-3)^2 + (y-4)^2 = 25\).
Exercice 4
Déterminer une équation de la tangente au cercle \((x-1)^2 + (y+2)^2 = 25\) au point \(T(4\,;2)\).
Correction
Le centre est \(\Omega(1\,;-2)\) et \(\vec{\Omega T}(3\,;4)\) est normal à la tangente. Équation : \(3(x - 4) + 4(y - 2) = 0\), soit \(3x + 4y - 20 = 0\).
Exercice 5
Dans un triangle, \(AB = 6\), \(AC = 8\) et \(BC = 12\). Calculer \(\cos\widehat{A}\) puis dire si l'angle est aigu ou obtus.
Correction
Al-Kashi : \(144 = 36 + 64 - 96\cos\widehat{A}\), donc \(\cos\widehat{A} = \dfrac{100 - 144}{96} = -\dfrac{11}{24}\). Le cosinus est négatif : l'angle est obtus.
Exercice 6
Déterminer l'ensemble des points \(M\) tels que \(MA^2 + MB^2 = 50\), avec \(AB = 6\).
Correction
Soit \(I\) le milieu de \([AB]\) : \(MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \dfrac{36}{2} = 2MI^2 + 18\). Donc \(2MI^2 = 32\) et \(MI = 4\) : c'est le cercle de centre \(I\) et de rayon \(4\).
Exercice 7
Calculer la distance du point \(A(3\,;1)\) à la droite \((D) : 4x - 3y + 5 = 0\).
Correction
\(d = \dfrac{\lvert 4\times3 - 3\times1 + 5\rvert}{\sqrt{16+9}} = \dfrac{14}{5} = 2{,}8\).