L'essentiel en une page
| Expression | Formule |
|---|---|
| Analytique | \(xx' + yy'\) |
| Avec l'angle | \(\lVert\vec u\rVert\lVert\vec v\rVert\cos\theta\) |
| Dans un triangle | \(\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2}\) |
| Carré scalaire | \(\lVert\vec u\rVert^2\) |
Orthogonalité : \(\vec u\cdot\vec v = 0\). · Al-Kashi : \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat A\).
| Objet | Équation |
|---|---|
| Cercle de centre \(\Omega(\alpha\,;\beta)\) | \((x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2 = R^2\) |
| Cercle de diamètre \([AB]\) | \(\vec{MA}\cdot\vec{MB} = 0\) |
| Tangente en \(T\) | droite par \(T\) de normale \(\vec{\Omega T}\) |
| Puissance d'un point | \(\mathcal{P}(A) = \Omega A^2 - R^2\) |
Position d'un point : \(\mathcal{P}(A) > 0\) extérieur · \(= 0\) sur le cercle · \(< 0\) intérieur.
Lieux : \(MA^2 - MB^2 = k\) est une droite perpendiculaire à \((AB)\) ; \(MA^2 + MB^2 = k\) est un cercle centré au milieu.
Ce que je dois savoir faire
- Calculer un produit scalaire par les différentes expressions.
- Déterminer centre, rayon, tangente, puissance d'un point.
- Intersecter un cercle et une droite par substitution.
- Reconnaître les lieux géométriques usuels.
Les pièges à éviter
- L'expression analytique exige un repère orthonormé.
- Compléter les carrés avant de lire le centre d'un cercle.
- Une intersection droite-cercle donne \(0\), \(1\) ou \(2\) points : le discriminant décide.
- \(MA^2 - MB^2 = k\) donne une droite, pas un cercle.
Testez-vous en 3 minutes
\(\vec u(1\,;2)\cdot\vec v(3\,;-1)\) ? Centre et rayon de \(x^2+y^2-4y=0\) ? Puissance de \((0\,;0)\) par rapport à ce cercle ? Nature du lieu \(MA^2 - MB^2 = 0\) ?
Réponses
\(1\) ; centre \((0\,;2)\), rayon \(2\) ; \(0 - 4 = -4\) ; la médiatrice de \([AB]\).