Série 2 — puissance d'un point, cercles et lieux. Le repère est orthonormé.
Exercice 1
Calculer \(\vec u\cdot\vec v\) pour \(\vec u(2\,;-3)\) et \(\vec v(4\,;1)\), puis l'angle entre les deux vecteurs à \(0{,}1°\) près.
Correction
\(\vec u\cdot\vec v = 8 - 3 = 5\) ; \(\lVert\vec u\rVert = \sqrt{13}\) et \(\lVert\vec v\rVert = \sqrt{17}\). \(\cos\theta = \dfrac{5}{\sqrt{221}} \approx 0{,}336\), donc \(\theta \approx 70{,}3°\).
Exercice 2
Déterminer l'ensemble des points \(M\) tels que \(\vec{MA}\cdot\vec{MB} = 0\), avec \(A(2\,;1)\) et \(B(8\,;9)\).
Correction
C'est le cercle de diamètre \([AB]\) : centre \(\Omega(5\,;5)\) et rayon \(\dfrac{AB}{2} = 5\). Équation : \((x-5)^2 + (y-5)^2 = 25\).
Exercice 3
Soit le cercle \((\mathcal{C})\) de centre \(\Omega(2\,;-1)\) et de rayon \(5\), et \(A(7\,;3)\). Calculer la puissance de \(A\) par rapport à \((\mathcal{C})\).
Correction
\(\mathcal{P}(A) = \Omega A^2 - R^2 = (25 + 16) - 25 = 16\). La puissance est positive : \(A\) est extérieur au cercle.
Exercice 4
Déterminer l'intersection du cercle \(x^2 + y^2 = 25\) et de la droite \(y = x + 1\).
Correction
\(x^2 + (x+1)^2 = 25\) donne \(2x^2 + 2x - 24 = 0\), soit \(x^2 + x - 12 = 0\) : \(x = 3\) ou \(x = -4\). Les points sont \((3\,;4)\) et \((-4\,;-3)\).
Exercice 5
Déterminer les équations des tangentes au cercle \(x^2 + y^2 = 9\) issues du point \(A(5\,;0)\) — on donnera les points de contact.
Correction
Un point de contact \(T\) vérifie \(\vec{\Omega T}\cdot\vec{AT} = 0\) avec \(\Omega = O\) ; de plus \(OT = 3\). Comme \(OA = 5\), on a \(AT = \sqrt{25 - 9} = 4\), et \(T\) a pour abscisse \(\dfrac{9}{5}\) ; alors \(y_T^2 = 9 - \dfrac{81}{25} = \dfrac{144}{25}\), soit \(y_T = \pm\dfrac{12}{5}\). Les points de contact sont \(\left(\dfrac95\,;\pm\dfrac{12}{5}\right)\).
Exercice 6
Dans un triangle, \(AB = 7\), \(AC = 9\) et \(BC = 8\). Calculer \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\).
Correction
\(\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2} = \dfrac{49 + 81 - 64}{2} = 33\).
Exercice 7
Déterminer l'ensemble des points \(M\) tels que \(MA^2 - MB^2 = 12\), avec \(A(0\,;0)\) et \(B(6\,;0)\).
Correction
\(MA^2 - MB^2 = x^2 + y^2 - \left[(x-6)^2 + y^2\right] = 12x - 36\). L'égalité \(12x - 36 = 12\) donne \(x = 4\) : c'est la droite d'équation \(x = 4\), perpendiculaire à \((AB)\).