Durée : 1 h 30. Barème sur 20. Le repère est orthonormé.
Exercice 1 (5 pts)
\(A(1\,;2)\), \(B(5\,;0)\) et \(C(3\,;6)\).
- Calculer \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\). (2 pts)
- Calculer \(\cos\widehat{BAC}\) puis en déduire la nature de l'angle. (3 pts)
Correction
- \(\vec{AB}(4\,;-2)\) et \(\vec{AC}(2\,;4)\) : \(8 - 8 = 0\).
- \(\cos\widehat{BAC} = 0\) : l'angle est droit.
Exercice 2 (5 pts)
Soit le cercle d'équation \(x^2 + y^2 - 6x + 2y - 15 = 0\).
- Déterminer son centre et son rayon. (3 pts)
- Le point \(A(8\,;1)\) est-il intérieur, sur le cercle, ou extérieur ? (2 pts)
Correction
- \((x-3)^2 + (y+1)^2 = 15 + 9 + 1 = 25\) : centre \(\Omega(3\,;-1)\), rayon \(5\).
- \(\Omega A^2 = 25 + 4 = 29 > 25\) : le point est extérieur.
Exercice 3 (5 pts)
Déterminer les points d'intersection du cercle \(x^2 + y^2 = 20\) et de la droite \(y = 2x\).
Correction
\(x^2 + 4x^2 = 20\) donne \(x^2 = 4\), soit \(x = \pm2\). Les points sont \((2\,;4)\) et \((-2\,;-4)\).
Exercice 4 (5 pts)
Dans un triangle, \(AB = 6\), \(AC = 10\) et \(BC = 8\).
- Calculer \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\). (3 pts)
- En déduire \(\cos\widehat{A}\) et la nature du triangle. (2 pts)
Correction
- \(\dfrac{36 + 100 - 64}{2} = 36\).
- \(\cos\widehat{A} = \dfrac{36}{60} = 0{,}6\) ; l'angle est aigu. Le triangle n'est pas rectangle en \(A\), mais \(100 = 36 + 64\) : il est rectangle en \(B\).