L'essentiel en une page
Définition. Pour \(x > 0\), \(\log x\) est l'unique réel \(y\) tel que \(10^{\,y} = x\). En particulier \(\log 1 = 0\) et \(\log 10 = 1\).
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Produit | \(\log(ab) = \log a + \log b\) |
| Quotient | \(\log\dfrac ab = \log a - \log b\) |
| Puissance | \(\log(a^n) = n\log a\) |
| Racine | \(\log\sqrt a = \dfrac12\log a\) |
| Puissance de \(10\) | \(\log(10^n) = n\) |
Variations : \(\log\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\) ; elle est négative sur \(]0\,;1[\) et positive sur \(]1\,;+\infty[\).
| Équation / inéquation | Résolution |
|---|---|
| \(\log x = a\) | \(x = 10^a\) |
| \(\log x \le a\) | \(0 < x \le 10^a\) |
| \(q^n \ge k\) | \(n \ge \dfrac{\log k}{\log q}\) si \(q > 1\) |
Attention : si \(\log q < 0\) (c'est-à-dire \(q < 1\)), diviser par \(\log q\) inverse le sens de l'inégalité.
Ce que je dois savoir faire
- Calculer des logarithmes de puissances de \(10\).
- Utiliser les propriétés pour simplifier une expression.
- Résoudre une équation ou une inéquation logarithmique avec sa condition.
- Déterminer un nombre d'années dans un problème de placement.
Les pièges à éviter
- \(\log\) n'est définie que pour \(x > 0\) : toujours poser la condition.
- \(\log(a+b) \ne \log a + \log b\).
- Diviser par \(\log q\) négatif inverse l'inégalité.
- Un nombre d'années est un entier : arrondir au supérieur.
Testez-vous en 3 minutes
\(\log 100\) ? \(\log 2 + \log 5\) ? Résoudre \(\log x = -1\) ? À partir de quel \(n\) a-t-on \(1{,}1^n > 2\) (avec \(\log 1{,}1 \approx 0{,}0414\)) ?
Réponses
\(2\) ; \(\log 10 = 1\) ; \(x = 0{,}1\) ; \(n \ge 8\).