Durée : 1 h 30. Barème sur 20. On prendra \(\log 2 \approx 0{,}301\) et \(\log 3 \approx 0{,}477\).
Exercice 1 (5 pts)
Calculer : \(\log 10\,000\), \(\log 0{,}1\), \(\log 6\) et \(\log\dfrac{3}{2}\).
Correction
\(4\) ; \(-1\) ; \(\log 2 + \log 3 \approx 0{,}778\) ; \(\log 3 - \log 2 \approx 0{,}176\).
Exercice 2 (5 pts)
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
- \(\log(3x + 1) = 2\) (2 pts)
- \(\log x + \log(x+3) = 1\) (3 pts)
Correction
- \(3x + 1 = 100\), donc \(x = 33\).
- Condition \(x > 0\) ; \(x(x+3) = 10\) donne \(x^2 + 3x - 10 = 0\) : \(x = 2\) (on rejette \(-5\)).
Exercice 3 (5 pts)
Un capital de \(10\,000\) dh est placé à \(5\,\%\) par an.
- Exprimer le capital après \(n\) années. (2 pts)
- Au bout de combien d'années dépasse-t-il \(15\,000\) dh ? (3 pts)
Correction
- \(C_n = 10\,000\times1{,}05^n\).
- \(1{,}05^n > 1{,}5\) donne \(n > \dfrac{\log 1{,}5}{\log 1{,}05} \approx \dfrac{0{,}176}{0{,}0212} \approx 8{,}3\) : à partir de la 9e année.
Exercice 4 (5 pts)
Résoudre l'inéquation \(\log(2x - 4) < 1\).
Correction
Condition : \(2x - 4 > 0\), soit \(x > 2\). La fonction \(\log\) est croissante : \(2x - 4 < 10\), donc \(x < 7\). \(S = ]2\,;7[\).