Série 2 — propriétés, équations et applications économiques.
Exercice 1
Calculer sans calculatrice : \(\log 1\,000\), \(\log 0{,}01\), \(\log\sqrt{10}\) et \(\log\dfrac{1}{100}\).
Correction
\(3\) ; \(-2\) ; \(\dfrac12\) ; \(-2\).
Exercice 2
Simplifier \(A = \log 8 + \log 125\) et \(B = \log 50 - \log 5\).
Correction
\(A = \log(8\times125) = \log 1\,000 = 3\) ; \(B = \log 10 = 1\).
Exercice 3
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\log x = 2\), puis \(\log(2x - 1) = 1\).
Correction
\(x = 10^2 = 100\). Pour la seconde : \(2x - 1 = 10\), donc \(x = 5{,}5\) (condition \(x > 0{,}5\) vérifiée).
Exercice 4
Résoudre \(\log(x) + \log(x - 3) = 1\).
Correction
Conditions : \(x > 3\). L'équation devient \(\log\left(x(x-3)\right) = 1\), soit \(x^2 - 3x - 10 = 0\). \(\Delta = 49\) : \(x = 5\) ou \(x = -2\). Seul \(x = 5\) convient.
Exercice 5
Un capital placé à \(6\,\%\) par an double-t-il en moins de \(12\) ans ?
Correction
On cherche \(n\) tel que \(1{,}06^n \ge 2\), soit \(n\log 1{,}06 \ge \log 2\). \(n \ge \dfrac{0{,}301}{0{,}0253} \approx 11{,}9\) : il faut \(12\) ans, donc le capital double juste en \(12\) ans.
Exercice 6
Une machine perd \(12\,\%\) de sa valeur par an. Au bout de combien d'années aura-t-elle perdu la moitié de sa valeur ?
Correction
\(0{,}88^n \le 0{,}5\) donne \(n\log 0{,}88 \le \log 0{,}5\) ; en divisant par \(\log 0{,}88 < 0\) (le sens s'inverse) : \(n \ge \dfrac{-0{,}301}{-0{,}0555} \approx 5{,}4\) : à partir de la 6e année.
Exercice 7
Résoudre l'inéquation \(\log x \le 3\).
Correction
Condition \(x > 0\) ; la fonction \(\log\) est croissante, donc \(x \le 10^3\) : \(S = ]0\,;1\,000]\).