L'essentiel en une page
| Objet | Formule |
|---|---|
| \(\vec{AB}\) | différences des trois coordonnées |
| Norme (orthonormé) | \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) |
| Milieu | moyennes des trois coordonnées |
| Droite \((A\,;\vec u)\) | \(x = x_A + \alpha t\), \(y = y_A + \beta t\), \(z = z_A + \gamma t\) |
| Plan \((A\,;\vec u\,;\vec v)\) | deux paramètres \(s\) et \(t\) |
Colinéarité : coordonnées proportionnelles. · Alignement : \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) colinéaires.
Coplanarité de trois vecteurs : \(\vec w = a\vec u + b\vec v\) ; on détermine \(a\) et \(b\) avec deux équations, puis on vérifie la troisième.
Trois points définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés.
Appartenance à une droite : une même valeur du paramètre doit convenir pour les trois coordonnées.
Ce que je dois savoir faire
- Calculer coordonnées, normes, milieux dans l'espace.
- Écrire une représentation paramétrique de droite et de plan.
- Tester l'appartenance d'un point.
- Étudier colinéarité, alignement, coplanarité.
- Travailler dans le repère naturel d'un cube.
Les pièges à éviter
- Trois équations pour deux inconnues : la vérification est obligatoire.
- Un même paramètre pour les trois coordonnées lors d'un test d'appartenance.
- Deux droites sans point commun peuvent être non coplanaires.
- La norme suppose un repère orthonormé.
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Norme de \(\vec u(2\,;3\,;6)\) ? Milieu de \(A(0\,;0\,;0)\) et \(B(2\,;4\,;6)\) ? Trois points alignés définissent-ils un plan ? Coordonnées de \(G\) dans le repère du cube ?
Réponses
\(7\) ; \((1\,;2\,;3)\) ; non ; \((1\,;1\,;1)\).