Exercice 1
Les points \(A(1 ; 0 ; 2)\), \(B(2 ; 1 ; 3)\), \(C(0 ; 1 ; 1)\), \(D(3 ; 2 ; 5)\) sont-ils coplanaires ?
Correction
\(\vec{AB}(1 ; 1 ; 1)\), \(\vec{AC}(-1 ; 1 ; -1)\), \(\vec{AD}(2 ; 2 ; 3)\). \(\det = 1(3 + 2) - (-1)(3 - 2) + 2(-1 - 1) = 5 + 1 - 4 = 2\neq0\) : non coplanaires.
Exercice 2
Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((AB)\) avec \(A(1 ; -1 ; 2)\) et \(B(3 ; 0 ; -1)\).
Correction
\(\vec{AB}(2 ; 1 ; -3)\) : \(x = 1 + 2t\), \(y = -1 + t\), \(z = 2 - 3t\).
Exercice 3
Déterminer une équation cartésienne du plan passant par \(A(1 ; 2 ; 0)\) et dirigé par \(\vec{u}(1 ; 0 ; 1)\) et \(\vec{v}(0 ; 1 ; 2)\).
Correction
\(\det(\vec{AM}, \vec{u}, \vec{v})\) avec \(\vec{AM}(x - 1 ; y - 2 ; z)\) : \((x - 1)(0 - 1) - 1\cdot((y - 2)\cdot2 - z\cdot1) + 0 = 0\), soit \(-(x - 1) - 2(y - 2) + z = 0 \Leftrightarrow x + 2y - z - 5 = 0\).
Exercice 4
Déterminer l'intersection de la droite \((D) : x = 1 + t,\ y = 2t,\ z = 3 - t\) et du plan \((P) : x + y + z - 6 = 0\).
Correction
\(1 + t + 2t + 3 - t - 6 = 0 \Leftrightarrow 2t = 2 \Leftrightarrow t = 1\). Point \((2 ; 2 ; 2)\).