1. Vecteurs de l'espace
Les opérations (somme, Chasles, produit par un réel) se prolongent à l'espace.
Trois vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) sont coplanaires s'il existe des réels \(\alpha\), \(\beta\) tels que \(\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}\) (avec \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) non colinéaires).
Quatre points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont coplanaires \(\Leftrightarrow\) \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\), \(\vec{AD}\) sont coplanaires.
2. Repère de l'espace
\((O ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) avec trois vecteurs non coplanaires. \(\vec{u}(x ; y ; z)\) signifie \(\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\).
- \(\vec{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)\).
- Milieu : \(\left(\frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2} ; \frac{z_A + z_B}{2}\right)\).
Déterminant de trois vecteurs
\[\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \begin{vmatrix} x & x' & x'' \\ y & y' & y'' \\ z & z' & z'' \end{vmatrix} = x\begin{vmatrix} y' & y'' \\ z' & z'' \end{vmatrix} - x'\begin{vmatrix} y & y'' \\ z & z'' \end{vmatrix} + x''\begin{vmatrix} y & y' \\ z & z' \end{vmatrix}\]
\(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) sont coplanaires \(\Leftrightarrow\) \(\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = 0\).
3. Droites de l'espace
La droite passant par \(A\) et dirigée par \(\vec{u}(a ; b ; c)\) :
\[\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}\]
4. Plans de l'espace
Le plan passant par \(A\) et dirigé par \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) (non colinéaires) : \(M\in(P)\Leftrightarrow\det(\vec{AM}, \vec{u}, \vec{v}) = 0\).
Tout plan a une équation cartésienne \(ax + by + cz + d = 0\) avec \((a ; b ; c)\neq(0 ; 0 ; 0)\).
5. Positions relatives
- Deux plans \((P) : ax + by + cz + d = 0\) et \((P')\) sont parallèles si leurs coefficients \((a ; b ; c)\) et \((a' ; b' ; c')\) sont proportionnels ; sinon ils se coupent suivant une droite.
- Une droite dirigée par \(\vec{u}\) est parallèle à un plan dirigé par \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) si \(\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = 0\).