Géométrie dans l'espace — Examen (1 h 30) — 1ère année Bac Sciences Mathématiques

Durée : 1 h 30. Barème sur 20.

On donne \(A(1 ; 1 ; 0)\), \(B(0 ; 2 ; 1)\), \(C(2 ; 0 ; 3)\) et \(E(1 ; 0 ; -1)\).

Montrer que \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés. (3 pts)
Déterminer une équation cartésienne du plan \((ABC)\). (5 pts)
Le point \(E\) appartient-il au plan \((ABC)\) ? (2 pts)
Donner une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(E\) et dirigée par \(\vec{u}(1 ; 1 ; 0)\). (3 pts)
Déterminer l'intersection de \((\Delta)\) et du plan \((ABC)\). (4 pts)
Montrer que les droites \((\Delta)\) et \((AB)\) ne sont pas coplanaires. (3 pts)

Correction

\(\vec{AB}(-1 ; 1 ; 1)\) et \(\vec{AC}(1 ; -1 ; 3)\) ne sont pas colinéaires.
Un vecteur \(\vec{n}(a ; b ; c)\) orthogonal à \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) vérifie \(-a + b + c = 0\) et \(a - b + 3c = 0\). En additionnant : \(4c = 0\), donc \(c = 0\) et \(a = b\). On prend \(\vec{n}(1 ; 1 ; 0)\) : \((ABC) : x + y + d = 0\), et \(A\) donne \(d = -2\). Donc \((ABC) : x + y - 2 = 0\) (on vérifie avec \(B\) et \(C\)).
\(1 + 0 - 2 = -1\neq0\) : \(E\notin(ABC)\).
\(x = 1 + t\), \(y = t\), \(z = -1\).
\(1 + t + t - 2 = 0\) : \(t = \frac12\), point \((\frac32 ; \frac12 ; -1)\).
\(\vec{u}(1 ; 1 ; 0)\) et \(\vec{AB}(-1 ; 1 ; 1)\) ne sont pas colinéaires. \((AB)\) : \(x = 1 - s\), \(y = 1 + s\), \(z = s\). Intersection : \(1 + t = 1 - s\), \(t = 1 + s\), \(-1 = s\) donne \(s = -1\), \(t = 0\) puis \(1 = 2\) : impossible. Les droites ne sont ni parallèles ni sécantes : elles ne sont pas coplanaires.