1. Cardinal d'un ensemble
Le cardinal d'un ensemble fini \(E\), noté \(\text{card}(E)\), est le nombre de ses éléments.
Si \(A\) et \(B\) sont des parties de \(E\) : \(\text{card}(A\cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A\cap B)\) et \(\text{card}(\overline{A}) = \text{card}(E) - \text{card}(A)\).
2. Principe multiplicatif
Si une expérience se fait en \(p\) étapes ayant respectivement \(n_1, n_2, \dots, n_p\) issues possibles, le nombre total d'issues est \(n_1\times n_2\times\dots\times n_p\).
Exemple : un code de \(4\) chiffres : \(10^4 = 10\,000\) codes.
3. Arrangements et permutations
Un arrangement de \(p\) éléments parmi \(n\) est une suite ordonnée de \(p\) éléments distincts : \(A_n^p = n(n - 1)\dots(n - p + 1) = \frac{n!}{(n - p)!}\).
Une permutation de \(n\) éléments est un arrangement de \(n\) éléments parmi \(n\) : il y en a \(n! = 1\times2\times\dots\times n\) (avec \(0! = 1\)).
Exemple : nombre de podiums (or, argent, bronze) parmi \(8\) coureurs : \(A_8^3 = 8\times7\times6 = 336\).
4. Combinaisons
Une combinaison de \(p\) éléments parmi \(n\) est une partie à \(p\) éléments (l'ordre ne compte pas) : \(C_n^p = \frac{A_n^p}{p!} = \frac{n!}{p!(n - p)!}\).
- \(C_n^0 = C_n^n = 1\) ; \(C_n^1 = n\) ; \(C_n^p = C_n^{n - p}\).
- Relation de Pascal : \(C_n^p + C_n^{p + 1} = C_{n + 1}^{p + 1}\).
Exemple : nombre de façons de choisir \(3\) délégués parmi \(25\) élèves : \(C_{25}^3 = \frac{25\times24\times23}{6} = 2300\).
5. Formule du binôme
\[(a + b)^n = \sum_{p = 0}^{n} C_n^p\,a^{n - p}b^p\]
6. Tirages
| Type de tirage | Ordre | Nombre de tirages de \(p\) parmi \(n\) |
|---|---|---|
| Successifs avec remise | compte | \(n^p\) |
| Successifs sans remise | compte | \(A_n^p\) |
| Simultanés | ne compte pas | \(C_n^p\) |