Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (8 pts)
Une classe compte \(12\) filles et \(8\) garçons.
- De combien de façons peut-on élire un bureau formé d'un président, d'un vice-président et d'un secrétaire ?
- De combien de façons peut-on choisir un groupe de \(4\) élèves ?
- … dont exactement \(2\) filles ?
- … dont au moins un garçon ?
Correction
- \(A_{20}^3 = 20\times19\times18 = 6840\).
- \(C_{20}^4 = 4845\).
- \(C_{12}^2\times C_8^2 = 66\times28 = 1848\).
- \(4845 - C_{12}^4 = 4845 - 495 = 4350\).
Exercice 2 (6 pts)
Une urne contient \(4\) boules blanches et \(6\) noires. On tire successivement et sans remise \(3\) boules.
- Combien y a-t-il de tirages possibles ?
- Combien de tirages donnent \(3\) boules de même couleur ?
Correction
- \(A_{10}^3 = 720\).
- \(A_4^3 + A_6^3 = 24 + 120 = 144\).
Exercice 3 (6 pts)
- Montrer que \(C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}\).
- Résoudre dans \(\mathbb{N}\) : \(C_n^2 = 45\).
- Combien de segments peut-on tracer en reliant \(10\) points dont trois quelconques ne sont pas alignés ?
Correction
- \(C_n^2 = \frac{n!}{2!(n - 2)!} = \frac{n(n - 1)}{2}\).
- \(n(n - 1) = 90\), \(n^2 - n - 90 = 0\), \(n = 10\) (la racine \(-9\) est rejetée).
- \(C_{10}^2 = 45\) segments.