Exercice 1
Calculer : \(5!\) ; \(A_7^3\) ; \(C_8^3\) ; \(C_{10}^8\).
Correction
\(120\) ; \(7\times6\times5 = 210\) ; \(\frac{8\times7\times6}{6} = 56\) ; \(C_{10}^8 = C_{10}^2 = 45\).
Exercice 2
Combien de nombres de \(3\) chiffres distincts peut-on former avec les chiffres \(1, 2, 3, 4, 5\) ? Combien sont pairs ?
Correction
\(A_5^3 = 60\). Pairs : le chiffre des unités est \(2\) ou \(4\) (\(2\) choix), puis \(A_4^2 = 12\) pour les deux autres : \(24\).
Exercice 3
Une urne contient \(5\) boules rouges et \(3\) vertes. On tire simultanément \(3\) boules. Combien de tirages : (a) au total ; (b) avec exactement \(2\) rouges ; (c) avec au moins une verte ?
Correction
(a) \(C_8^3 = 56\). (b) \(C_5^2\times C_3^1 = 10\times3 = 30\). (c) \(56 - C_5^3 = 56 - 10 = 46\).
Exercice 4
Combien d'anagrammes (mots, ayant un sens ou non) peut-on former avec les lettres du mot MAROC ? Avec celles du mot RABAT ?
Correction
MAROC : \(5! = 120\). RABAT : la lettre A apparaît deux fois : \(\frac{5!}{2!} = 60\).
Exercice 5
Développer \((x + 2)^4\) à l'aide de la formule du binôme.
Correction
\(x^4 + 4x^3\cdot2 + 6x^2\cdot4 + 4x\cdot8 + 16 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16\).
Exercice 6
Montrer que \(\sum_{p = 0}^{n}C_n^p = 2^n\) et interpréter.
Correction
Binôme avec \(a = b = 1\) : \((1 + 1)^n = \sum C_n^p\). C'est le nombre total de parties d'un ensemble à \(n\) éléments.