1. Définition
Soit \(\Omega\) un point et \(\theta\) un réel. La rotation \(r\) de centre \(\Omega\) et d'angle \(\theta\) transforme \(\Omega\) en lui-même et tout point \(M\neq\Omega\) en \(M'\) tel que :
\[\Omega M' = \Omega M \quad\text{et}\quad (\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'})\equiv\theta\ [2\pi]\]
- Si \(\theta\equiv0\ [2\pi]\), \(r\) est l'identité. Si \(\theta\equiv\pi\ [2\pi]\), \(r\) est la symétrie centrale de centre \(\Omega\).
- La réciproque de \(r(\Omega, \theta)\) est \(r(\Omega, -\theta)\).
2. Propriétés
Une rotation conserve les distances, les angles orientés, l'alignement, le parallélisme, l'orthogonalité, le barycentre et les aires.
- Si \(r(A) = A'\) et \(r(B) = B'\), alors \(A'B' = AB\) et \((\vec{AB}, \vec{A'B'})\equiv\theta\ [2\pi]\).
- L'image d'une droite est une droite, l'image d'un cercle \(C(I, R)\) est le cercle \(C(r(I), R)\).
3. Détermination d'une rotation
Si \(A\neq B\), \(A'B' = AB\) avec \(A'\neq A\) et \(\theta\) connu, il existe une unique rotation d'angle \(\theta = (\vec{AB}, \vec{A'B'})\) transformant \(A\) en \(A'\) et \(B\) en \(B'\). Son centre est l'intersection des médiatrices de \([AA']\) et \([BB']\) (quand elles se coupent).
4. Expression analytique (repère orthonormé direct)
Pour \(r(\Omega(a ; b), \theta)\) :
\[\begin{cases} x' - a = (x - a)\cos\theta - (y - b)\sin\theta \\ y' - b = (x - a)\sin\theta + (y - b)\cos\theta \end{cases}\]
Exemple
Rotation de centre \(O\) et d'angle \(\frac{\pi}{2}\) : \(x' = -y\), \(y' = x\). Image de \(A(2 ; 1)\) : \(A'(-1 ; 2)\).
5. Application : triangle équilatéral
\(ABC\) est équilatéral direct \(\Leftrightarrow\) \(C\) est l'image de \(B\) par la rotation de centre \(A\) et d'angle \(\frac{\pi}{3}\).