Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (10 pts)
Soit \(ABC\) un triangle équilatéral direct et \(I\) le milieu de \([BC]\). Soit \(r\) la rotation de centre \(A\) et d'angle \(\frac{\pi}{3}\).
- Déterminer \(r(B)\). (2 pts)
- Soit \(D = r(C)\). Montrer que \(ACD\) est équilatéral. (3 pts)
- Montrer que \(r(I)\) est le milieu de \([CD]\). (2 pts)
- Calculer l'angle \((\vec{BC}, \vec{CD})\). (3 pts)
Correction
- \(AB = AC\) et \((\vec{AB}, \vec{AC})\equiv\frac{\pi}{3}\) : \(r(B) = C\).
- \(AD = AC\) et \((\vec{AC}, \vec{AD})\equiv\frac{\pi}{3}\) : \(ACD\) équilatéral.
- La rotation conserve les milieux : \(r(I)\) est le milieu de \([r(B)r(C)] = [CD]\).
- \(r\) envoie \(B\) sur \(C\) et \(C\) sur \(D\), donc \((\vec{BC}, \vec{CD})\equiv\frac{\pi}{3}\ [2\pi]\).
Exercice 2 (10 pts)
Repère orthonormé direct. Soit \(r\) de centre \(\Omega(2 ; 0)\) et d'angle \(-\frac{\pi}{2}\).
- Écrire l'expression analytique de \(r\). (3 pts)
- Déterminer l'image de \(A(4 ; 1)\). (2 pts)
- Déterminer l'image du cercle \((C) : x^2 + y^2 = 4\). (2 pts)
- Déterminer le point \(M\) dont l'image est \(O\). (3 pts)
Correction
- \(\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0\), \(\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1\) : \(x' - 2 = y\), \(y' = -(x - 2)\), soit \(x' = y + 2\), \(y' = 2 - x\).
- \(A'(3 ; -2)\).
- Centre \(O\mapsto O'(2 ; 2)\), rayon \(2\) : \((x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4\).
- \(y + 2 = 0\) et \(2 - x = 0\) : \(M(2 ; -2)\).