Exercice 1
Dans un repère orthonormé direct, déterminer l'image de \(A(3 ; 1)\) par la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\frac{\pi}{3}\).
Correction
\(x' = 3\cdot\frac12 - 1\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{3 - \sqrt3}{2}\), \(y' = 3\cdot\frac{\sqrt3}{2} + 1\cdot\frac12 = \frac{3\sqrt3 + 1}{2}\).
Exercice 2
Soit \(ABCD\) un carré direct de centre \(O\). Déterminer l'image de \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) par la rotation \(r\) de centre \(O\) et d'angle \(\frac{\pi}{2}\), puis l'image de la droite \((AB)\).
Correction
\(r(A) = B\), \(r(B) = C\), \(r(C) = D\), \(r(D) = A\). L'image de \((AB)\) est \((BC)\).
Exercice 3
Soit \(ABC\) un triangle. On construit à l'extérieur les triangles équilatéraux \(ABE\) et \(ACF\). Montrer que \(EC = BF\).
Correction
Avec une orientation convenable, la rotation \(r\) de centre \(A\) et d'angle \(\frac{\pi}{3}\) (ou \(-\frac{\pi}{3}\)) envoie \(E\) sur \(B\) et \(C\) sur \(F\). Elle conserve les distances : \(EC = BF\).
Exercice 4
Déterminer l'expression analytique de la rotation de centre \(\Omega(1 ; 2)\) et d'angle \(\frac{\pi}{2}\), puis l'image de la droite \((D) : y = x\).
Correction
\(x' - 1 = -(y - 2)\), \(y' - 2 = x - 1\), soit \(x' = 3 - y\), \(y' = x + 1\). Pour \(M(t ; t)\) : \(M'(3 - t ; t + 1)\), donc \(x' + y' = 4\). L'image est la droite \(x + y - 4 = 0\).