Série 2 — colinéarité, coplanarité, droites et plans de l'espace.
Exercice 1
\(A(1\,;2\,;-1)\), \(B(3\,;0\,;2)\) et \(C(-1\,;4\,;-4)\). Les points sont-ils alignés ?
Correction
\(\vec{AB}(2\,;-2\,;3)\) et \(\vec{AC}(-2\,;2\,;-3) = -\vec{AB}\) : les vecteurs sont colinéaires, donc les points sont alignés.
Exercice 2
Déterminer une représentation paramétrique du plan passant par \(A(1\,;0\,;2)\) et de vecteurs directeurs \(\vec u(1\,;1\,;0)\) et \(\vec v(0\,;1\,;1)\).
Correction
\(\begin{cases} x = 1 + s \\ y = s + t \\ z = 2 + t \end{cases}\) avec \(s\) et \(t\) réels.
Exercice 3
Les vecteurs \(\vec u(1\,;-1\,;2)\), \(\vec v(2\,;1\,;-1)\) et \(\vec w(4\,;-1\,;3)\) sont-ils coplanaires ?
Correction
On cherche \(a\), \(b\) tels que \(\vec w = a\vec u + b\vec v\) : \(a + 2b = 4\) et \(-a + b = -1\) donnent \(3b = 3\), soit \(b = 1\) et \(a = 2\). Vérification sur la troisième : \(2\times2 + 1\times(-1) = 3\) ✓. Les vecteurs sont coplanaires.
Exercice 4
\(ABCDEFGH\) est un cube. Montrer que les droites \((AG)\) et \((BH)\) sont sécantes.
Correction
Les deux diagonales du cube passent par le centre du cube, qui est le milieu commun de \([AG]\) et de \([BH]\) : elles sont donc sécantes en ce point.
Exercice 5
Dans le repère \((A\,;\vec{AB}\,;\vec{AD}\,;\vec{AE})\) d'un cube, donner les coordonnées de \(G\) et du centre \(\Omega\) du cube.
Correction
\(G(1\,;1\,;1)\) et \(\Omega\left(\dfrac12\,;\dfrac12\,;\dfrac12\right)\).
Exercice 6
\(A(2\,;0\,;1)\), \(B(0\,;3\,;1)\) et \(C(2\,;3\,;4)\). Les trois points définissent-ils un plan ?
Correction
\(\vec{AB}(-2\,;3\,;0)\) et \(\vec{AC}(0\,;3\,;3)\) ne sont pas colinéaires (la première coordonnée de l'un est nulle, pas celle de l'autre) : les points ne sont pas alignés, ils définissent bien un plan.
Exercice 7
La droite de représentation \(x = 1 + t\), \(y = 2 - t\), \(z = 3t\) passe-t-elle par \(M(3\,;0\,;6)\) ?
Correction
\(1 + t = 3\) donne \(t = 2\) ; alors \(y = 0\) ✓ et \(z = 6\) ✓. Une même valeur de \(t\) convient : le point appartient à la droite.