Durée : 1 heure. Barème sur 20. L'espace est muni d'un repère.
Exercice 1 (5 pts)
\(A(1\,;-1\,;0)\) et \(B(4\,;1\,;6)\).
- Calculer les coordonnées de \(\vec{AB}\) et sa norme. (3 pts)
- Déterminer les coordonnées du milieu de \([AB]\). (2 pts)
Correction
- \(\vec{AB}(3\,;2\,;6)\) et \(AB = \sqrt{9+4+36} = 7\).
- \(I\left(\dfrac52\,;0\,;3\right)\).
Exercice 2 (5 pts)
Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par \(A(2\,;1\,;-3)\) et de vecteur directeur \(\vec u(1\,;-2\,;4)\), puis vérifier si \(M(4\,;-3\,;5)\) lui appartient.
Correction
\(x = 2+t\), \(y = 1-2t\), \(z = -3+4t\). Pour \(M\) : \(2 + t = 4\) donne \(t = 2\) ; alors \(y = -3\) ✓ et \(z = 5\) ✓ : \(M\) appartient à la droite.
Exercice 3 (5 pts)
Les vecteurs \(\vec u(1\,;2\,;1)\), \(\vec v(2\,;-1\,;0)\) et \(\vec w(4\,;3\,;2)\) sont-ils coplanaires ?
Correction
\(\vec w = a\vec u + b\vec v\) : la troisième coordonnée donne \(a = 2\), puis la première donne \(2 + 2b = 4\), soit \(b = 1\). Vérification sur la deuxième : \(2\times2 - 1 = 3\) ✓. Les vecteurs sont coplanaires.
Exercice 4 (5 pts)
\(ABCDEFGH\) est un cube d'arête \(a\).
- Dans le repère \((A\,;\vec{AB}\,;\vec{AD}\,;\vec{AE})\), donner les coordonnées de \(C\), \(F\) et \(G\). (3 pts)
- Calculer \(AG\) en fonction de \(a\). (2 pts)
Correction
- \(C(1\,;1\,;0)\), \(F(1\,;0\,;1)\) et \(G(1\,;1\,;1)\).
- \(AG = a\sqrt{1+1+1} = a\sqrt3\).