L'essentiel en une page
| Notion | Définition |
|---|---|
| Majorée | \(f(x) \le M\) pour tout \(x\) |
| Minorée | \(f(x) \ge m\) pour tout \(x\) |
| Bornée | majorée et minorée |
| Périodique de période \(T\) | \(f(x + T) = f(x)\) |
| Paire / impaire | \(f(-x) = f(x)\) / \(f(-x) = -f(x)\) |
Composition : \((g\circ f)(x) = g\big(f(x)\big)\) ; le domaine est l'ensemble des \(x\in D_f\) tels que \(f(x)\in D_g\).
| Parité d'un produit ou d'une composée | Résultat |
|---|---|
| paire \(\times\) paire | paire |
| impaire \(\times\) impaire | paire |
| paire \(\times\) impaire | impaire |
| \(f\circ g\) avec \(g\) paire | paire |
Bijection : une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle réalise une bijection sur son image ; la réciproque s'obtient en résolvant \(y = f(x)\) en \(x\).
Fonction homographique : \(\dfrac{ax+b}{cx+d} = \alpha + \dfrac{\beta}{cx+d}\), ce qui donne directement les variations.
Ce que je dois savoir faire
- Montrer qu'une fonction est bornée par une inégalité bien choisie.
- Déterminer une période.
- Étudier des variations sans dérivée (forme décomposée).
- Montrer une bijection et calculer la réciproque.
- Déterminer le domaine d'une composée.
Les pièges à éviter
- Le domaine de \(g\circ f\) n'est pas \(D_f\) tout entier.
- Une fonction bornée n'atteint pas forcément ses bornes.
- La plus petite période positive doit être justifiée, pas seulement devinée.
- Pour \(f^{-1}\), préciser l'ensemble de départ et d'arrivée.
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Période de \(\sin(2x)\) ? Parité de \(x\mapsto x\cos x\) ? \(D_{f\circ g}\) pour \(f=\sqrt{\;}\) et \(g(x)=x-3\) ? Réciproque de \(x\mapsto 3x-1\) ?
Réponses
\(\pi\) ; impaire \(\times\) paire \(=\) impaire ; \([3\,;+\infty[\) ; \(y\mapsto\dfrac{y+1}{3}\).