Série 2 — majorations, périodicité, composition et bijections.
Exercice 1
Montrer que \(f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}\) est bornée sur \(\mathbb{R}\) et préciser ses bornes.
Correction
\(\left\lvert\dfrac{x}{x^2+1}\right\rvert \le \dfrac12\) car \(x^2 + 1 \ge 2\lvert x\rvert\) (conséquence de \((\lvert x\rvert - 1)^2 \ge 0\)). Les valeurs \(\pm\dfrac12\) sont atteintes en \(x = \pm1\) : ce sont le maximum et le minimum.
Exercice 2
Soit \(f(x) = \cos(3x)\). Montrer que \(f\) est périodique et déterminer sa plus petite période positive.
Correction
\(f\left(x + \dfrac{2\pi}{3}\right) = \cos(3x + 2\pi) = \cos(3x) = f(x)\) : la période est \(T = \dfrac{2\pi}{3}\).
Exercice 3
Étudier les variations de \(f(x) = \dfrac{x-1}{x+1}\) sur \(]-1\,;+\infty[\) sans utiliser la dérivée.
Correction
\(f(x) = 1 - \dfrac{2}{x+1}\). Sur \(]-1\,;+\infty[\), \(\dfrac{2}{x+1}\) est décroissante, donc son opposée est croissante : \(f\) est croissante.
Exercice 4
Soit \(f(x) = x^2 - 2x\) sur \([1\,;+\infty[\). Montrer que \(f\) est bijective de \([1\,;+\infty[\) vers \([-1\,;+\infty[\) et déterminer \(f^{-1}\).
Correction
\(f(x) = (x-1)^2 - 1\) est strictement croissante sur \([1\,;+\infty[\), avec \(f(1) = -1\) et limite \(+\infty\) : elle est bijective. \(y = (x-1)^2 - 1\) donne \(x = 1 + \sqrt{y+1}\), donc \(f^{-1}(y) = 1 + \sqrt{y+1}\).
Exercice 5
Soient \(f(x) = \sqrt x\) et \(g(x) = x - 3\). Déterminer les domaines de \(f\circ g\) et \(g\circ f\).
Correction
\((f\circ g)(x) = \sqrt{x-3}\) : domaine \([3\,;+\infty[\). \((g\circ f)(x) = \sqrt x - 3\) : domaine \([0\,;+\infty[\).
Exercice 6
Soit \(f\) impaire et \(g\) paire, toutes deux définies sur \(\mathbb{R}\). Étudier la parité de \(f\times g\) et de \(f\circ g\).
Correction
\((fg)(-x) = f(-x)g(-x) = -f(x)g(x)\) : le produit est impair. \((f\circ g)(-x) = f\big(g(-x)\big) = f\big(g(x)\big)\) : la composée est paire.
Exercice 7
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}\). Déterminer son maximum et justifier qu'elle est paire.
Correction
\(f(-x) = f(x)\) : la fonction est paire. \(1 + x^2 \ge 1\), donc \(f(x) \le 1\), avec égalité pour \(x = 0\) : le maximum vaut \(1\).