Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
Soit \(f(x) = \dfrac{2x-1}{x+2}\).
- Déterminer \(D_f\) et écrire \(f(x)\) sous la forme \(a + \dfrac{b}{x+2}\). (3 pts)
- En déduire les variations de \(f\) sur \(]-2\,;+\infty[\). (2 pts)
Correction
- \(D_f = \mathbb{R}\setminus\{-2\}\) et \(f(x) = 2 - \dfrac{5}{x+2}\).
- \(\dfrac{5}{x+2}\) est décroissante sur \(]-2\,;+\infty[\), donc \(f\) y est croissante.
Exercice 2 (5 pts)
Soit \(g(x) = x^2 + 4x + 1\) sur \([-2\,;+\infty[\).
- Écrire \(g\) sous forme canonique et donner son minimum. (2 pts)
- Montrer que \(g\) est bijective de \([-2\,;+\infty[\) vers \([-3\,;+\infty[\) et déterminer \(g^{-1}\). (3 pts)
Correction
- \(g(x) = (x+2)^2 - 3\) ; minimum \(-3\) en \(x = -2\).
- \(g\) est strictement croissante sur \([-2\,;+\infty[\) : elle est bijective, et \(y = (x+2)^2 - 3\) donne \(g^{-1}(y) = -2 + \sqrt{y+3}\).
Exercice 3 (5 pts)
Soient \(f(x) = \sqrt{x+1}\) et \(h(x) = x^2\).
- Déterminer \(D_{f\circ h}\) et \(D_{h\circ f}\). (3 pts)
- Expliciter les deux composées. (2 pts)
Correction
- \((f\circ h)(x) = \sqrt{x^2+1}\) : domaine \(\mathbb{R}\). \((h\circ f)(x) = x+1\) : domaine \([-1\,;+\infty[\).
- Les expressions sont \(\sqrt{x^2+1}\) et \(x+1\) (sur \([-1\,;+\infty[\)).
Exercice 4 (5 pts)
Montrer que \(f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}\) vérifie \(-\dfrac12 \le f(x) \le \dfrac12\) pour tout réel \(x\).
Correction
\((\lvert x\rvert - 1)^2 \ge 0\) donne \(x^2 + 1 \ge 2\lvert x\rvert\), donc \(\dfrac{\lvert x\rvert}{x^2+1} \le \dfrac12\), c'est-à-dire \(\lvert f(x)\rvert \le \dfrac12\).