Série 2 — domaines, variations et lectures graphiques appliquées.
Exercice 1
Déterminer le domaine de définition de :
- \(f(x) = \dfrac{3x - 1}{x^2 - 9}\)
- \(g(x) = \sqrt{10 - 2x}\)
Correction
- \(D_f = \mathbb{R}\setminus\{-3\,;3\}\).
- \(10 - 2x \ge 0\) : \(D_g = ]-\infty\,;5]\).
Exercice 2
Soit \(f(x) = -2x^2 + 12x - 10\).
- Écrire \(f\) sous forme canonique.
- Donner le tableau de variations et l'extremum.
Correction
- \(f(x) = -2(x-3)^2 + 8\).
- \(f\) croît sur \(]-\infty\,;3]\) puis décroît ; le maximum vaut \(8\) en \(x = 3\).
Exercice 3
Étudier la parité de \(f(x) = x^4 - 5x^2\) et de \(g(x) = \dfrac{3x}{x^2+4}\).
Correction
\(f(-x) = f(x)\) : paire. \(g(-x) = -g(x)\) : impaire.
Exercice 4
Une entreprise vend \(x\) articles ; sa recette est \(R(x) = 60x\) et son coût \(C(x) = 20x + 500\).
- Exprimer le bénéfice et déterminer le seuil de rentabilité.
- Combien faut-il vendre d'articles pour un bénéfice d'au moins \(1\,500\) dh ?
Correction
- \(B(x) = 40x - 500\) ; \(B(x) = 0\) donne \(x = 12{,}5\) : il faut vendre au moins \(13\) articles.
- \(40x - 500 \ge 1\,500\) donne \(x \ge 50\).
Exercice 5
Soit \(f(x) = \dfrac{4x+3}{x-2}\).
- Déterminer \(D_f\) et écrire \(f(x)\) sous la forme \(a + \dfrac{b}{x-2}\).
- En déduire les variations sur \(]2\,;+\infty[\).
Correction
- \(D_f = \mathbb{R}\setminus\{2\}\) et \(f(x) = 4 + \dfrac{11}{x-2}\).
- \(\dfrac{11}{x-2}\) est décroissante sur \(]2\,;+\infty[\), donc \(f\) y est décroissante.
Exercice 6
Soient \(f(x) = 2x + 1\) et \(g(x) = x^2 - 3\). Calculer \((f\circ g)(x)\) et \((g\circ f)(x)\).
Correction
\((f\circ g)(x) = 2x^2 - 5\) ; \((g\circ f)(x) = (2x+1)^2 - 3 = 4x^2 + 4x - 2\).
Exercice 7
\(f\) est définie sur \([0\,;10]\) : croissante de \(0\) à \(12\) sur \([0\,;4]\), puis décroissante de \(12\) à \(2\) sur \([4\,;10]\).
- Donner le maximum de \(f\).
- Discuter le nombre de solutions de \(f(x) = m\) selon \(m\).
Correction
- Le maximum vaut \(12\), atteint en \(x = 4\).
- \(m > 12\) : aucune solution ; \(m = 12\) : une ; \(2 \le m < 12\) : deux ; \(0 \le m < 2\) : une ; \(m < 0\) : aucune.