L'essentiel en une page
| Étape | Contenu |
|---|---|
| 1 | domaine de définition |
| 2 | limites aux bornes |
| 3 | dérivée et son signe |
| 4 | tableau de variations |
| 5 | asymptotes |
| 6 | courbe et interprétation |
Asymptote oblique : on effectue la division, \(f(x) = ax + b + \varepsilon(x)\) avec \(\varepsilon(x)\to0\).
| Notion économique | Caractérisation |
|---|---|
| Seuil de rentabilité | \(B(x) = 0\) |
| Production optimale | \(B'(x) = 0\) avec changement de signe |
| Coût moyen minimal | \(C_m'(x) = 0\), et alors \(C_m = C'\) |
| Coût marginal | \(C'(x)\) |
Extremum : un zéro de \(f'\) ne suffit pas, il faut un changement de signe.
Ce que je dois savoir faire
- Mener une étude complète et dresser un tableau de variations.
- Déterminer toutes les asymptotes.
- Calculer un seuil de rentabilité et une production optimale.
- Minimiser un coût moyen et vérifier l'égalité avec le coût marginal.
- Justifier l'existence d'une solution par le théorème des valeurs intermédiaires.
Les pièges à éviter
- Les racines de \(B\) donnent le seuil, pas l'optimum.
- Le coût moyen minimal n'est pas le coût total minimal.
- Vérifier que la production optimale appartient à l'intervalle d'étude.
- Une quantité d'articles est entière.
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Seuil si \(B(x) = -x^2 + 50x - 400\) ? Optimum ? Minimum de \(x + \frac{49}{x}\) ? Variations de \(\frac{x-1}{x+1}\) ?
Réponses
\(x = 10\) et \(x = 40\) ; \(x = 25\) ; en \(x = 7\), valeur \(14\) ; croissante sur chaque intervalle.