Série 2 — études complètes et optimisation économique.
Exercice 1
Soit \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\).
- Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe.
- Dresser le tableau de variations.
Correction
- \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)\) : positive hors de \([1\,;3]\), négative entre.
- \(f\) croît jusqu'à \(f(1) = 5\), décroît jusqu'à \(f(3) = 1\), puis croît.
Exercice 2
Soit \(g(x) = \dfrac{2x+1}{x-1}\).
- Déterminer \(D_g\), les limites aux bornes et les asymptotes.
- Calculer \(g'(x)\) et conclure sur les variations.
Correction
- \(D_g = \mathbb{R}\setminus\{1\}\) ; limite \(2\) en \(\pm\infty\) ; \(-\infty\) en \(1^-\) et \(+\infty\) en \(1^+\) : asymptotes \(y = 2\) et \(x = 1\).
- \(g'(x) = \dfrac{-3}{(x-1)^2} < 0\) : \(g\) est décroissante sur chaque intervalle.
Exercice 3
Le bénéfice est \(B(x) = -x^2 + 120x - 2\,000\) pour \(x\in[0\,;120]\).
- Déterminer le seuil de rentabilité.
- Déterminer la production optimale et le bénéfice maximal.
Correction
- \(\Delta = 14\,400 - 8\,000 = 6\,400\), \(\sqrt\Delta = 80\) : racines \(20\) et \(100\). L'entreprise est bénéficiaire pour \(20 < x < 100\).
- \(B(x) = -(x-60)^2 + 1\,600\) : maximum \(1\,600\) dh pour \(x = 60\).
Exercice 4
Le coût moyen est \(C_m(x) = x + \dfrac{900}{x} + 40\) pour \(x > 0\).
- Calculer \(C_m'(x)\).
- Déterminer la production qui minimise le coût moyen.
Correction
- \(C_m'(x) = 1 - \dfrac{900}{x^2} = \dfrac{x^2 - 900}{x^2}\).
- \(C_m'\) s'annule en \(x = 30\) en changeant de signe : le coût moyen minimal vaut \(C_m(30) = 100\).
Exercice 5
Montrer que, pour le coût \(C(x) = x^2 + 900 + 40x\), le coût moyen est minimal lorsqu'il est égal au coût marginal.
Correction
\(C'(x) = 2x + 40\) et \(C_m(x) = x + \dfrac{900}{x} + 40\). Pour \(x = 30\) : \(C'(30) = 100\) et \(C_m(30) = 100\) : les deux coïncident bien au minimum du coût moyen.
Exercice 6
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\). Étudier les variations et déterminer l'asymptote oblique.
Correction
\(f(x) = x - \dfrac4x\), donc \(f'(x) = 1 + \dfrac4{x^2} > 0\) : la fonction est croissante. \(f(x) - x = -\dfrac4x \to 0\) : la droite \(y = x\) est asymptote oblique.
Exercice 7
Montrer que l'équation \(x^3 - 3x - 1 = 0\) admet une solution dans \(]1\,;2[\), puis l'encadrer à \(0{,}5\) près.
Correction
\(f(1) = -3 < 0\) et \(f(2) = 1 > 0\) ; \(f'(x) = 3x^2 - 3 > 0\) sur \(]1\,;2[\) : la fonction est strictement croissante, la solution est unique. \(f(1{,}5) = 3{,}375 - 4{,}5 - 1 = -2{,}125 < 0\) : la solution est dans \(]1{,}5\,;2[\).