L'essentiel en une page
| Étape | Ce que je fais |
|---|---|
| 1. Domaine | conditions d'existence |
| 2. Parité | réduire le domaine d'étude si possible |
| 3. Limites | aux bornes du domaine |
| 4. Dérivée | calculer \(f'\) et étudier son signe |
| 5. Tableau | variations et valeurs remarquables |
| 6. Asymptotes | verticales, horizontales, obliques |
| 7. Courbe | tangentes et points particuliers |
Asymptote oblique : \(y = ax + b\) si \(f(x) - (ax + b) \to 0\) ; on l'obtient en effectuant la division de \(f\).
Extremum : \(f'\) s'annule en changeant de signe.
Théorème des valeurs intermédiaires : si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a\,;b]\) avec \(f(a)f(b) < 0\), alors \(f(x) = 0\) admet une unique solution dans \(]a\,;b[\).
Symétries : \(f\) paire \(\Rightarrow\) axe des ordonnées ; \(f\) impaire \(\Rightarrow\) centre \(O\).
Ce que je dois savoir faire
- Mener une étude complète dans l'ordre.
- Déterminer toutes les asymptotes.
- Justifier l'existence et l'unicité d'une solution.
- Encadrer une solution par dichotomie.
- Tracer une courbe avec ses tangentes remarquables.
Les pièges à éviter
- Ne pas oublier les limites aux bornes ouvertes du domaine.
- Un zéro de \(f'\) sans changement de signe n'est pas un extremum.
- Une asymptote oblique ne s'obtient que lorsque le degré du numérateur dépasse de \(1\) celui du dénominateur.
- Pour une fonction paire, la courbe se complète par symétrie, on ne recalcule pas.
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Variations de \(x^3 - 3x\) ? Minimum de \(x + \dfrac1x\) sur \(]0\,;+\infty[\) ? Asymptote de \(\dfrac{x^2+1}{x}\) ? Combien de solutions pour \(x^3 = 5\) ?
Réponses
Croît, décroît sur \([-1\,;1]\), croît ; \(2\) ; \(y = x\) ; une seule.