Série 2 — études complètes, branches infinies et courbes.
Exercice 1
Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\).
- Calculer les limites en \(\pm\infty\).
- Étudier les variations de \(f\).
- Dresser le tableau de variations.
Correction
- \(-\infty\) en \(-\infty\) et \(+\infty\) en \(+\infty\).
- \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\) : \(f\) croît sur \(]-\infty\,;0]\), décroît sur \([0\,;2]\), croît sur \([2\,;+\infty[\).
- Maximum local \(f(0) = 4\), minimum local \(f(2) = 0\).
Exercice 2
Pour la fonction précédente, montrer que \(2\) est une racine double de \(f\) et factoriser \(f(x)\).
Correction
\(f(2) = 0\) et \(f'(2) = 0\) : \(2\) est bien une racine double. \(f(x) = (x-2)^2(x+1)\).
Exercice 3
Soit \(g(x) = \dfrac{x^2 + x + 1}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\).
- Calculer \(g'(x)\).
- En déduire les variations et le minimum de \(g\).
Correction
- \(g(x) = x + 1 + \dfrac1x\), donc \(g'(x) = 1 - \dfrac1{x^2} = \dfrac{x^2-1}{x^2}\).
- \(g\) décroît sur \(]0\,;1]\) puis croît : son minimum vaut \(g(1) = 3\).
Exercice 4
Soit \(h(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x + 2}\).
- Déterminer \(D_h\) et les limites aux bornes.
- Montrer que la droite \(y = x - 2\) est asymptote oblique.
Correction
- \(D_h = \mathbb{R}\setminus\{-2\}\) ; limites \(\mp\infty\) en \(\mp\infty\) ; en \(-2^-\) : \(-\infty\) et en \(-2^+\) : \(+\infty\).
- \(h(x) = x - 2 + \dfrac{3}{x+2}\) et \(\dfrac{3}{x+2} \to 0\) : la droite est asymptote oblique.
Exercice 5
Soit \(f(x) = x + \dfrac4x\) sur \(]0\,;+\infty[\). Déterminer le minimum de \(f\) et l'interpréter : quel rectangle d'aire \(4\) a le plus petit demi-périmètre ?
Correction
\(f'(x) = 1 - \dfrac4{x^2}\) s'annule en \(x = 2\) ; le minimum vaut \(f(2) = 4\). Le rectangle de côtés \(2\) et \(2\) — c'est-à-dire le carré — minimise le demi-périmètre.
Exercice 6
Montrer que l'équation \(x^3 + x - 3 = 0\) admet une unique solution sur \([1\,;2]\), puis en donner un encadrement d'amplitude \(0{,}5\).
Correction
\(f(x) = x^3 + x - 3\) est continue, strictement croissante (\(f'(x) = 3x^2 + 1 > 0\)), avec \(f(1) = -1 < 0\) et \(f(2) = 7 > 0\) : il y a une unique solution. \(f(1{,}5) = 3{,}375 + 1{,}5 - 3 = 1{,}875 > 0\), donc la solution est dans \([1\,;1{,}5]\).
Exercice 7
Soit \(f(x) = x^4 - 2x^2\). Étudier la parité de \(f\) et en déduire une réduction du domaine d'étude.
Correction
\(f(-x) = x^4 - 2x^2 = f(x)\) : la fonction est paire. Il suffit de l'étudier sur \([0\,;+\infty[\) puis de compléter la courbe par symétrie d'axe l'axe des ordonnées.