Série 2 — second degré, quotients et systèmes appliqués.
Exercice 1
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(2x^2 - 5x - 3 = 0\), puis factoriser le trinôme.
Correction
\(\Delta = 25 + 24 = 49\) : \(x = \dfrac{5+7}{4} = 3\) ou \(x = \dfrac{5-7}{4} = -\dfrac12\). \(2x^2 - 5x - 3 = 2(x-3)\left(x + \dfrac12\right) = (x-3)(2x+1)\).
Exercice 2
Résoudre l'inéquation \(-x^2 + 4x - 3 \ge 0\).
Correction
\(\Delta = 16 - 12 = 4\), racines \(1\) et \(3\) ; comme \(a < 0\), le trinôme est positif entre les racines : \(S = [1\,;3]\).
Exercice 3
Résoudre \(\dfrac{2x-1}{x+3} \ge 1\).
Correction
\(\dfrac{2x-1}{x+3} - 1 = \dfrac{x-4}{x+3} \ge 0\) : le quotient est positif pour \(x < -3\) ou \(x \ge 4\). \(S = ]-\infty\,;-3[\;\cup\;[4\,;+\infty[\).
Exercice 4
Résoudre par combinaison le système \(\begin{cases} 2x + 5y = 18 \\ 3x - 2y = 8 \end{cases}\).
Correction
On multiplie la première par \(2\) et la seconde par \(5\) : \(4x + 10y = 36\) et \(15x - 10y = 40\). En additionnant : \(19x = 76\), donc \(x = 4\) ; puis \(2\times4 + 5y = 18\) donne \(y = 2\). La solution est le couple \((4\,;2)\).
Exercice 5
Une entreprise produit \(x\) articles. Le coût total est \(C(x) = x^2 + 20x + 400\) et chaque article est vendu \(100\) dh.
- Exprimer le bénéfice \(B(x)\).
- Pour quelles productions l'entreprise est-elle bénéficiaire ?
Correction
- \(B(x) = 100x - (x^2 + 20x + 400) = -x^2 + 80x - 400\).
- \(\Delta = 6\,400 - 1\,600 = 4\,800\) et \(\sqrt{4\,800} = 40\sqrt3 \approx 69{,}3\).
Les racines sont \(\dfrac{80 \pm 69{,}3}{2}\), soit environ \(5{,}4\) et \(74{,}6\) : l'entreprise est bénéficiaire pour \(6 \le x \le 74\) articles.
Exercice 6
Pour la fonction \(B\) précédente, déterminer la production qui maximise le bénéfice et le bénéfice maximal.
Correction
\(B(x) = -(x-40)^2 + 1\,200\) : le maximum vaut \(1\,200\) dh pour \(x = 40\) articles.
Exercice 7
Deux produits coûtent ensemble \(150\) dh ; le premier coûte \(30\) dh de plus que le second. Déterminer les deux prix.
Correction
\(\begin{cases} a + b = 150 \\ a - b = 30 \end{cases}\) : en additionnant, \(2a = 180\), donc \(a = 90\) et \(b = 60\).