L'essentiel en une page
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) |
| \(\sqrt x\) | \(\dfrac1{2\sqrt x}\) |
| \(\dfrac1x\) | \(-\dfrac1{x^2}\) |
| \(\sin x\) / \(\cos x\) | \(\cos x\) / \(-\sin x\) |
| \(\tan x\) | \(1 + \tan^2 x\) |
| Opération | Dérivée |
| \(uv\) | \(u'v + uv'\) |
| \(\dfrac uv\) | \(\dfrac{u'v - uv'}{v^2}\) |
| \(u^n\) | \(n\,u'\,u^{n-1}\) |
| \(\sqrt u\) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt u}\) |
| \(\sin u\) / \(\cos u\) | \(u'\cos u\) / \(-u'\sin u\) |
Dérivabilité en \(a\) : la limite du taux \(\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) doit exister et être finie. Si les limites à gauche et à droite diffèrent : point anguleux. Si la limite est infinie : tangente verticale.
Tangente : \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\) ; parallèle à \(y = mx + p\) si \(f'(a) = m\).
Variations : le signe de \(f'\) donne le sens de variation ; un extremum exige un changement de signe.
Ce que je dois savoir faire
- Dériver toute composée usuelle.
- Étudier la dérivabilité en un point par les taux à gauche et à droite.
- Écrire des tangentes, y compris celles passant par un point donné.
- Résoudre un problème d'optimisation.
- Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires avec la monotonie.
Les pièges à éviter
- Continuité n'implique pas dérivabilité (\(\lvert x\rvert\) en \(0\)).
- Pour une tangente passant par un point extérieur, l'abscisse du point de contact est l'inconnue.
- Ne pas oublier le facteur \(u'\) dans les composées.
- Vérifier le domaine de dérivabilité, souvent plus petit que le domaine de définition.
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Dérivée de \((2x-1)^4\) ? De \(\sqrt{x^2+1}\) ? \(f\) est-elle dérivable en \(0\) pour \(f(x)=\lvert x\rvert\) ? Tangente à \(x^2\) en \(a=1\) ?
Réponses
\(8(2x-1)^3\) ; \(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\) ; non ; \(y = 2x - 1\).