Série 2 — dérivabilité, composées et applications.
Exercice 1
Étudier la dérivabilité de \(f(x) = \lvert x\rvert\) en \(0\).
Correction
\(\displaystyle\lim_{h\to0^+}\frac{\lvert h\rvert}{h} = 1\) et \(\displaystyle\lim_{h\to0^-}\frac{\lvert h\rvert}{h} = -1\). Les deux limites diffèrent : \(f\) n'est pas dérivable en \(0\) (point anguleux).
Exercice 2
Étudier la dérivabilité de \(g(x) = \sqrt x\) en \(0\).
Correction
\(\dfrac{\sqrt h - 0}{h} = \dfrac{1}{\sqrt h} \to +\infty\) : \(g\) n'est pas dérivable en \(0\) ; la courbe y admet une tangente verticale.
Exercice 3
Calculer la dérivée de \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x+1}\) sur \(]0\,;+\infty[\).
Correction
\(f'(x) = \dfrac{\frac{1}{2\sqrt x}(x+1) - \sqrt x}{(x+1)^2} = \dfrac{x + 1 - 2x}{2\sqrt x(x+1)^2} = \dfrac{1 - x}{2\sqrt x(x+1)^2}\).
Exercice 4
Calculer la dérivée de \(h(x) = \sin^3(2x)\).
Correction
\(h'(x) = 3\sin^2(2x)\times2\cos(2x) = 6\sin^2(2x)\cos(2x)\).
Exercice 5
Soit \(f(x) = x^3 + 3x - 2\). Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), puis que l'équation \(f(x) = 0\) a une unique solution.
Correction
\(f'(x) = 3x^2 + 3 > 0\) : \(f\) est strictement croissante. Elle est continue, avec \(f(0) = -2 < 0\) et \(f(1) = 2 > 0\) : l'équation admet une unique solution dans \(]0\,;1[\).
Exercice 6
Déterminer les tangentes à la courbe de \(f(x) = x^2\) passant par le point \(A(0\,;-1)\).
Correction
La tangente au point d'abscisse \(a\) a pour équation \(y = 2a(x - a) + a^2 = 2ax - a^2\). Elle passe par \(A\) si \(-1 = -a^2\), soit \(a = \pm1\). Les tangentes sont \(y = 2x - 1\) et \(y = -2x - 1\).
Exercice 7
Parmi tous les rectangles de périmètre \(20\) cm, déterminer celui d'aire maximale.
Correction
Soit \(x\) la largeur : la longueur vaut \(10 - x\) et l'aire \(A(x) = x(10-x) = 10x - x^2\) pour \(x\in\,]0\,;10[\). \(A'(x) = 10 - 2x\) s'annule en \(x = 5\) en changeant de signe : l'aire maximale est \(25\) cm², obtenue pour le carré de côté \(5\) cm.