Série 2 — dérivées, tangentes et coût marginal.
Exercice 1
Calculer la dérivée de :
- \(f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 7x - 1\)
- \(g(x) = (2x+3)(x-5)\)
- \(h(x) = \dfrac{3x-1}{x+4}\)
Correction
- \(f'(x) = 12x^2 - 4x + 7\).
- \(g'(x) = 2(x-5) + (2x+3) = 4x - 7\).
- \(h'(x) = \dfrac{3(x+4) - (3x-1)}{(x+4)^2} = \dfrac{13}{(x+4)^2}\).
Exercice 2
Soit \(f(x) = x^2 - 6x + 5\). Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse \(4\).
Correction
\(f(4) = -3\) et \(f'(x) = 2x - 6\), donc \(f'(4) = 2\). La tangente a pour équation \(y = 2(x-4) - 3 = 2x - 11\).
Exercice 3
Le coût total est \(C(x) = 0{,}5x^2 + 20x + 300\).
- Calculer le coût marginal \(C'(x)\).
- Calculer le coût marginal pour \(x = 40\) et l'interpréter.
Correction
- \(C'(x) = x + 20\).
- \(C'(40) = 60\) dh : produire la \(41^{\text{e}}\) unité coûte environ \(60\) dh.
Exercice 4
Avec le coût précédent et un prix de vente unitaire de \(80\) dh :
- Exprimer le bénéfice \(B(x)\).
- Déterminer la production qui maximise le bénéfice.
Correction
- \(B(x) = 80x - 0{,}5x^2 - 20x - 300 = -0{,}5x^2 + 60x - 300\).
- \(B'(x) = -x + 60\) s'annule en \(x = 60\) en changeant de signe : le bénéfice maximal vaut \(B(60) = 1\,500\) dh.
Exercice 5
Montrer que le bénéfice est maximal lorsque le coût marginal égale le prix de vente.
Correction
\(B(x) = px - C(x)\), donc \(B'(x) = p - C'(x)\). \(B'(x) = 0\) équivaut à \(C'(x) = p\) : le coût marginal égale le prix unitaire.
Exercice 6
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 + 4}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\). Calculer \(f'\) et déterminer le minimum.
Correction
\(f(x) = x + \dfrac4x\), donc \(f'(x) = 1 - \dfrac4{x^2} = \dfrac{x^2-4}{x^2}\). \(f'\) s'annule en \(2\) en changeant de signe : le minimum vaut \(f(2) = 4\).
Exercice 7
Le coût moyen est \(C_m(x) = \dfrac{C(x)}{x}\) avec \(C(x) = x^2 + 100\). Déterminer la production qui minimise le coût moyen.
Correction
\(C_m(x) = x + \dfrac{100}{x}\), donc \(C_m'(x) = 1 - \dfrac{100}{x^2}\), qui s'annule en \(x = 10\). Le coût moyen minimal vaut \(C_m(10) = 20\).