Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Calculer la dérivée de :
- \(f(x) = 5x^3 - 4x + 9\) (2 pts)
- \(g(x) = (x+2)(3x-1)\) (2 pts)
- \(h(x) = \dfrac{x-3}{x+1}\) (2 pts)
Correction
- \(f'(x) = 15x^2 - 4\).
- \(g'(x) = (3x-1) + 3(x+2) = 6x + 5\).
- \(h'(x) = \dfrac{(x+1) - (x-3)}{(x+1)^2} = \dfrac{4}{(x+1)^2}\).
Exercice 2 (5 pts)
Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 1\).
- Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations. (3 pts)
- Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse \(3\). (2 pts)
Correction
- \(f'(x) = 2x - 4\) : décroissante sur \(]-\infty\,;2]\), croissante ensuite ; minimum \(-3\) en \(2\).
- \(f(3) = -2\) et \(f'(3) = 2\) : la tangente est \(y = 2x - 8\).
Exercice 3 (5 pts)
Le coût total de production est \(C(x) = x^2 + 40x + 500\) et le prix de vente unitaire est \(120\) dh.
- Exprimer le bénéfice \(B(x)\). (2 pts)
- Déterminer la production optimale et le bénéfice maximal. (3 pts)
Correction
- \(B(x) = 120x - x^2 - 40x - 500 = -x^2 + 80x - 500\).
- \(B'(x) = -2x + 80\) s'annule en \(x = 40\) : le bénéfice maximal vaut \(B(40) = 1\,100\) dh.
Exercice 4 (4 pts)
Pour le coût précédent, calculer le coût marginal pour \(x = 30\) et l'interpréter.
Correction
\(C'(x) = 2x + 40\), donc \(C'(30) = 100\) dh : la \(31^{\text{e}}\) unité coûte environ \(100\) dh à produire.