Série 2 — arrangements, combinaisons et situations concrètes.
Exercice 1
Un comité de \(4\) personnes est choisi parmi \(12\) employés.
- Combien de comités possibles ?
- Et si l'on attribue quatre fonctions distinctes ?
Correction
- \(\binom{12}{4} = 495\).
- \(A_{12}^{4} = 12\times11\times10\times9 = 11\,880\).
Exercice 2
Un code bancaire comporte \(4\) chiffres de \(0\) à \(9\).
- Combien de codes possibles ?
- Combien avec des chiffres tous distincts ?
- Combien se terminant par \(0\) ?
Correction
- \(10^4 = 10\,000\).
- \(A_{10}^4 = 5\,040\).
- \(10^3 = 1\,000\).
Exercice 3
Dans un lot de \(20\) produits dont \(5\) défectueux, on en prélève \(3\) au hasard.
- Combien de prélèvements possibles ?
- Combien contiennent exactement un produit défectueux ?
- Combien contiennent au moins un défectueux ?
Correction
- \(\binom{20}{3} = 1\,140\).
- \(\binom51\times\binom{15}{2} = 5\times105 = 525\).
- \(1\,140 - \binom{15}{3} = 1\,140 - 455 = 685\).
Exercice 4
Combien d'anagrammes peut-on former avec les lettres du mot « VENTE » ?
Correction
\(5\) lettres avec deux \(E\) : \(\dfrac{5!}{2!} = 60\).
Exercice 5
Une entreprise propose \(3\) modèles, \(4\) couleurs et \(2\) finitions. Combien de versions différentes ?
Correction
Principe multiplicatif : \(3\times4\times2 = 24\) versions.
Exercice 6
De combien de façons peut-on classer \(6\) candidats, sachant qu'il n'y a pas d'ex æquo ?
Correction
\(6! = 720\) classements.
Exercice 7
Dans une assemblée de \(10\) hommes et \(8\) femmes, on forme une délégation de \(4\) personnes comprenant au moins \(2\) femmes.
Correction
Exactement \(2\) femmes : \(\binom82\binom{10}{2} = 28\times45 = 1\,260\). Exactement \(3\) : \(\binom83\binom{10}{1} = 56\times10 = 560\). Exactement \(4\) : \(\binom84 = 70\). Total : \(1\,260 + 560 + 70 = 1\,890\).