Série 2 — transformations de produits, équations et inéquations.
Exercice 1
Calculer les valeurs exactes de \(\cos\dfrac{\pi}{8}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{8}\).
Correction
\(\cos\dfrac{\pi}{4} = 2\cos^2\dfrac{\pi}{8} - 1 = \dfrac{\sqrt2}{2}\), donc \(\cos^2\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{2+\sqrt2}{4}\) et \(\cos\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}\). De même \(\sin\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}\) (les deux sont positifs dans le premier quadrant).
Exercice 2
Transformer \(\cos a\cos b\) en somme, puis calculer \(\cos\dfrac{5\pi}{12}\cos\dfrac{\pi}{12}\).
Correction
\(\cos a\cos b = \dfrac12\left[\cos(a-b) + \cos(a+b)\right]\). Avec \(a = \dfrac{5\pi}{12}\) et \(b = \dfrac{\pi}{12}\) : \(\dfrac12\left[\cos\dfrac{\pi}{3} + \cos\dfrac{\pi}{2}\right] = \dfrac12\times\dfrac12 = \dfrac14\).
Exercice 3
Résoudre dans \([0\,;2\pi[\) : \(\cos x + \sqrt3\sin x = 1\).
Correction
On écrit \(2\left(\dfrac12\cos x + \dfrac{\sqrt3}{2}\sin x\right) = 2\cos\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right)\). L'équation devient \(\cos\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac12\), soit \(x - \dfrac{\pi}{3} = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\). Donc \(x = \dfrac{2\pi}{3}\) ou \(x = 0\).
Exercice 4
Résoudre dans \([0\,;2\pi[\) l'inéquation \(\cos x \ge \dfrac12\).
Correction
Sur le cercle, \(\cos x = \dfrac12\) en \(\dfrac{\pi}{3}\) et \(\dfrac{5\pi}{3}\) ; le cosinus est supérieur entre \(-\dfrac{\pi}{3}\) et \(\dfrac{\pi}{3}\). Sur \([0\,;2\pi[\) : \(S = \left[0\,;\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{5\pi}{3}\,;2\pi\right[\).
Exercice 5
Montrer que \(\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x\).
Correction
\(\sin 3x = \sin(2x + x) = \sin 2x\cos x + \cos 2x\sin x = 2\sin x\cos^2x + (1 - 2\sin^2x)\sin x\). Avec \(\cos^2x = 1 - \sin^2x\) : \(2\sin x - 2\sin^3x + \sin x - 2\sin^3x = 3\sin x - 4\sin^3x\).
Exercice 6
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\tan x = \sqrt3\).
Correction
\(\tan\dfrac{\pi}{3} = \sqrt3\), donc \(x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi\) avec \(k\in\mathbb{Z}\).
Exercice 7
Simplifier \(A = \dfrac{\sin a + \sin b}{\cos a + \cos b}\) pour \(\cos a + \cos b \ne 0\).
Correction
\(\sin a + \sin b = 2\sin\dfrac{a+b}{2}\cos\dfrac{a-b}{2}\) et \(\cos a + \cos b = 2\cos\dfrac{a+b}{2}\cos\dfrac{a-b}{2}\). Donc \(A = \tan\dfrac{a+b}{2}\).