Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
- Montrer que pour tout \(x\) : \(\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = \tan x\) (pour \(\cos x\neq0\)). (3 pts)
- En déduire \(\tan\frac{\pi}{8}\) (utiliser \(x = \frac{\pi}{8}\)). (3 pts)
Correction
- \(\frac{2\sin x\cos x}{2\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x\).
- \(\tan\frac{\pi}{8} = \frac{\sin\frac{\pi}{4}}{1 + \cos\frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{1 + \frac{\sqrt2}{2}} = \frac{\sqrt2}{2 + \sqrt2} = \sqrt2 - 1\).
Exercice 2 (8 pts)
Soit \(A(x) = \sqrt3\sin x + \cos x\).
- Montrer que \(A(x) = 2\sin(x + \frac{\pi}{6})\). (2 pts)
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(A(x) = \sqrt2\). (3 pts)
- Résoudre dans \([0 ; 2\pi]\) : \(A(x) > 0\). (3 pts)
Correction
- \(2(\sin x\cos\frac{\pi}{6} + \cos x\sin\frac{\pi}{6}) = \sqrt3\sin x + \cos x\).
- \(\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt2}{2}\) : \(x = \frac{\pi}{12} + 2k\pi\) ou \(x = \frac{7\pi}{12} + 2k\pi\).
- \(\sin(x + \frac{\pi}{6}) > 0\) avec \(x + \frac{\pi}{6}\in[\frac{\pi}{6} ; \frac{13\pi}{6}]\) : \(x + \frac{\pi}{6}\in[\frac{\pi}{6} ; \pi[\cup]2\pi ; \frac{13\pi}{6}]\), soit \(S = [0 ; \frac{5\pi}{6}[\cup]\frac{11\pi}{6} ; 2\pi]\).
Exercice 3 (6 pts)
Résoudre dans \(]-\pi ; \pi]\) : \(\cos 2x = \sin x\).
Correction
\(1 - 2\sin^2 x = \sin x\Leftrightarrow2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0\) : \(\sin x = \frac12\) ou \(\sin x = -1\). \(S = \{-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6}\}\).