Exercice 1
Calculer \(\cos\frac{7\pi}{12}\) en écrivant \(\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\).
Correction
\(\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{4} - \frac{\sqrt6}{4} = \frac{\sqrt2 - \sqrt6}{4}\).
Exercice 2
Sachant que \(\cos a = \frac35\) avec \(a\in[0 ; \frac{\pi}{2}]\), calculer \(\sin a\), \(\sin 2a\) et \(\cos 2a\).
Correction
\(\sin a = \frac45\), \(\sin 2a = \frac{24}{25}\), \(\cos 2a = \frac{9 - 16}{25} = -\frac{7}{25}\).
Exercice 3
Écrire \(\cos x - \sin x\) sous la forme \(r\cos(x - \varphi)\) et résoudre \(\cos x - \sin x = 1\) dans \(]-\pi ; \pi]\).
Correction
\(\cos x - \sin x = \sqrt2\cos(x + \frac{\pi}{4})\). \(\cos(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt2}{2}\) : \(x + \frac{\pi}{4} = \pm\frac{\pi}{4} + 2k\pi\), soit \(x = 2k\pi\) ou \(x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\). \(S = \{-\frac{\pi}{2} ; 0\}\).
Exercice 4
Résoudre dans \([0 ; 2\pi[\) : \(2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0\).
Correction
\(\sin x = 1\) ou \(\sin x = -\frac12\) : \(S = \{\frac{\pi}{2} ; \frac{7\pi}{6} ; \frac{11\pi}{6}\}\).
Exercice 5
Résoudre dans \(]-\pi ; \pi]\) : \(\sin x\le\frac{\sqrt3}{2}\).
Correction
\(\sin x = \frac{\sqrt3}{2}\) pour \(\frac{\pi}{3}\) et \(\frac{2\pi}{3}\). \(S = ]-\pi ; \frac{\pi}{3}]\cup[\frac{2\pi}{3} ; \pi]\).