L'essentiel en une page
Définition. Si \(\sum\alpha_i \ne 0\), le barycentre \(G\) vérifie \(\sum\alpha_i\vec{GA_i} = \vec0\).
| Propriété | Écriture |
|---|---|
| Relation fondamentale | \(\sum\alpha_i\vec{MA_i} = \left(\sum\alpha_i\right)\vec{MG}\) |
| Coordonnées | moyenne pondérée des coordonnées |
| Homogénéité | coefficients multipliés par \(k \ne 0\) |
| Associativité | remplacer un sous-groupe par son barycentre partiel |
| Décomposition | \(\vec{AG} = \dfrac{\sum_{i\ne A}\alpha_i\vec{AA_i}}{\sum\alpha_i}\) |
Centre de gravité : isobarycentre de \(A\), \(B\), \(C\) ; \(\vec{AG} = \dfrac23\vec{AI}\) avec \(I\) milieu de \([BC]\).
| Lieu géométrique | Résultat |
|---|---|
| \(\lVert\sum\alpha_i\vec{MA_i}\rVert = k\) | cercle de centre \(G\) |
| \(\lVert\vec u_M\rVert = \lVert\vec v_M\rVert\) | médiatrice |
| \(\sum MA_i^2 = k\) | cercle de centre \(G\) (relation de Leibniz) |
Leibniz : \(\sum\alpha_i MA_i^2 = \left(\sum\alpha_i\right)MG^2 + \sum\alpha_i GA_i^2\).
Ce que je dois savoir faire
- Construire un barycentre à partir de la décomposition vectorielle.
- Utiliser l'associativité pour démontrer un alignement.
- Reconnaître et exploiter la relation de Leibniz.
- Déterminer un lieu géométrique (cercle, médiatrice).
- Démontrer le concours des médianes.
Les pièges à éviter
- Vérifier que \(\sum\alpha_i \ne 0\) avant tout.
- Un coefficient peut être négatif : le barycentre sort alors du segment.
- Dans un lieu, ne pas oublier la valeur absolue de \(\sum\alpha_i\).
- L'associativité regroupe des points, elle ne change pas \(G\).
Testez-vous en 3 minutes
\(\vec{AG}\) pour \(\{(A\,;1)\,;(B\,;4)\}\) ? Isobarycentre de trois points ? Lieu de \(M\) si \(\lVert\vec{MA}+\vec{MB}\rVert = 4\) et \(AB\) quelconque ?
Réponses
\(\dfrac45\vec{AB}\) ; le centre de gravité ; le cercle de centre \(I\) (milieu) et de rayon \(2\).