Barycentre — Exercices d'approfondissement — 1ère année Bac Sciences Mathématiques

Série 2 — barycentres partiels, alignements et lieux géométriques.

Exercice 1

\(ABC\) est un triangle. \(G\) est le barycentre de \(\{(A\,;1)\,;(B\,;2)\,;(C\,;3)\}\).

Exprimer \(\vec{AG}\) en fonction de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
En déduire une construction de \(G\).

Correction

\(\vec{AG} = \dfrac{2\vec{AB} + 3\vec{AC}}{6}\), soit \(\vec{AG} = \dfrac13\vec{AB} + \dfrac12\vec{AC}\).
Je construis \(\dfrac13\vec{AB}\) et \(\dfrac12\vec{AC}\), puis la somme par la règle du parallélogramme.

Exercice 2

\(I\) est le barycentre de \(\{(B\,;2)\,;(C\,;3)\}\). Montrer que \(G\) (exercice 1) appartient à la droite \((AI)\) et préciser \(\dfrac{AG}{AI}\).

Correction

Par associativité, \(G\) est le barycentre de \(\{(A\,;1)\,;(I\,;5)\}\), donc \(\vec{AG} = \dfrac56\vec{AI}\) : \(G\in(AI)\) et \(\dfrac{AG}{AI} = \dfrac56\).

Exercice 3

Déterminer l'ensemble des points \(M\) tels que \(\lVert 3\vec{MA} - \vec{MB}\rVert = \lVert \vec{MA} + \vec{MB}\rVert\).

Correction

Soit \(G\) le barycentre de \(\{(A\,;3)\,;(B\,;-1)\}\) (somme \(2\)) et \(I\) le milieu de \([AB]\). L'égalité devient \(2MG = 2MI\), soit \(MG = MI\) : c'est la médiatrice de \([GI]\).

Exercice 4

\(ABCD\) est un quadrilatère. \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(J\) celui de \([CD]\). Montrer que le milieu de \([IJ]\) est l'isobarycentre de \(A\), \(B\), \(C\), \(D\).

Correction

Par associativité, l'isobarycentre \(G\) de \(\{(A\,;1)\,;(B\,;1)\,;(C\,;1)\,;(D\,;1)\}\) est le barycentre de \(\{(I\,;2)\,;(J\,;2)\}\), c'est-à-dire le milieu de \([IJ]\).

Exercice 5

Dans un repère, \(A(1\,;3)\), \(B(-2\,;1)\) et \(C(4\,;-2)\). Calculer les coordonnées du barycentre de \(\{(A\,;3)\,;(B\,;2)\,;(C\,;1)\}\).

Correction

\(x_G = \dfrac{3 - 4 + 4}{6} = \dfrac12\) et \(y_G = \dfrac{9 + 2 - 2}{6} = \dfrac32\) : \(G\left(\dfrac12\,;\dfrac32\right)\).

Exercice 6

Soit \(G\) le centre de gravité de \(ABC\). Montrer que, pour tout point \(M\) :

\[MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2\]

Correction

\(\vec{MA} = \vec{MG} + \vec{GA}\), et de même pour \(B\) et \(C\). En élevant au carré et en sommant :

\[\sum MA^2 = 3MG^2 + 2\vec{MG}\cdot\left(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}\right) + \sum GA^2\]

La somme entre parenthèses est nulle (définition de \(G\)), d'où le résultat.

Exercice 7

Déterminer \(\alpha\) pour que le barycentre de \(\{(A\,;\alpha)\,;(B\,;1)\,;(C\,;1)\}\) appartienne à la droite \((BC)\), avec \(ABC\) non aplati.

Correction

Par associativité, \(G\) est le barycentre de \(\{(A\,;\alpha)\,;(I\,;2)\}\) où \(I\) est le milieu de \([BC]\) : il est sur \((AI)\). Il appartient à \((BC)\) si et seulement si \(G = I\), c'est-à-dire \(\alpha = 0\).