Séance 5 — Inégalité triangulaire et médiatrice — Fiche de révision

L'essentiel en une page

Inégalité triangulaire : pour tous points \(A\), \(B\), \(C\) : \(AC\le AB + BC\).

Égalité \(AC = AB + BC\) si et seulement si \(B\in[AC]\) (points alignés).

Le triangle existe si le plus grand côté est strictement inférieur à la somme des deux autres.

Encadrement : si on connaît \(AB\) et \(BC\), alors \(|AB - BC|\le AC\le AB + BC\).

Médiatrice de \([AB]\) : droite perpendiculaire à \([AB]\) en son milieu.

\(M\) est sur la médiatrice de \([AB]\) \(\Longleftrightarrow\) \(MA = MB\).

Cercle circonscrit : les trois médiatrices d'un triangle se coupent en \(O\), et \(OA = OB = OC\).

Ce que je dois savoir faire

• Dire si trois longueurs permettent de construire un triangle, en justifiant.
• Encadrer la troisième longueur quand on connaît les deux autres.
• Construire une médiatrice à la règle et au compas.
• Utiliser la médiatrice pour montrer que deux longueurs sont égales.
• Reconnaître un triangle isocèle grâce à la médiatrice.

Les pièges à éviter

• Le cas \(AC = AB + BC\) ne donne pas un vrai triangle : les points sont alignés.
• On compare toujours avec le plus grand côté.
• La médiatrice passe par le milieu et forme un angle droit : les deux conditions sont nécessaires.

Testez-vous en 3 minutes

Un triangle de côtés \(5\), \(6\), \(12\) existe-t-il ? Si \(MA = MB = 7\) cm, où se trouve \(M\) ? Encadrer \(AC\) si \(AB = 10\) et \(BC = 6\).