1. Inégalité triangulaire
Pour trois points \(A\), \(B\), \(C\) quelconques : \(AB\le AC + CB\).
- Si \(C\in[AB]\), alors \(AB = AC + CB\) (cas d'égalité).
- Si \(C\notin[AB]\), alors \(AB < AC + CB\).
Construire un triangle
On peut construire un triangle de côtés \(a\), \(b\), \(c\) si et seulement si le plus grand côté est inférieur à la somme des deux autres. Exemple : \(3\), \(4\), \(6\) : \(6 < 3 + 4\), le triangle existe. \(2\), \(3\), \(7\) : \(7 > 2 + 3\), impossible.
2. Médiatrice d'un segment
La médiatrice de \([AB]\) est la droite perpendiculaire à \([AB]\) en son milieu.
Propriété directe : tout point de la médiatrice de \([AB]\) est à égale distance de \(A\) et de \(B\).
Réciproque : tout point à égale distance de \(A\) et de \(B\) appartient à la médiatrice de \([AB]\).
Figure 1 — la médiatrice de [AB]
Construction au compas : on trace deux arcs de même rayon (plus grand que \(\frac{AB}{2}\)) centrés en \(A\) et en \(B\) ; la droite qui joint leurs deux points d'intersection est la médiatrice.
3. Médiatrices d'un triangle
Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point \(O\), qui est le centre du cercle circonscrit au triangle (\(OA = OB = OC\)).
Figure 2 — cercle circonscrit
- Dans un triangle rectangle, ce point est le milieu de l'hypoténuse.
- Il est à l'intérieur du triangle si tous les angles sont aigus, à l'extérieur si un angle est obtus.