Série 2 — constructions, encadrements et problèmes.
Exercice 1
\(AB = 7\) cm et \(BC = 4\) cm. Entre quelles valeurs se trouve \(AC\) ?
Correction
D'après l'inégalité triangulaire, \(AC\le 7 + 4 = 11\) cm et \(AC\ge 7 - 4 = 3\) cm : donc \(3\le AC\le 11\) cm.
Exercice 2
Pour quelles valeurs entières de \(x\) peut-on construire un triangle de côtés \(5\) cm, \(8\) cm et \(x\) cm ?
Correction
Il faut \(x < 5 + 8 = 13\) et \(x > 8 - 5 = 3\) : donc \(x\in\{4\,;5\,;6\,;7\,;8\,;9\,;10\,;11\,;12\}\).
Exercice 3
\(ABC\) est un triangle tel que \(AB = AC\). \(I\) est le milieu de \([BC]\).
- Montrer que \((AI)\) est la médiatrice de \([BC]\).
- En déduire que \((AI)\perp(BC)\).
Correction
- \(AB = AC\) donc \(A\) est sur la médiatrice de \([BC]\) ; \(I\) est le milieu, donc il y est aussi. Deux points déterminent une droite : \((AI)\) est la médiatrice.
- La médiatrice est perpendiculaire au segment : \((AI)\perp(BC)\).
Exercice 4
Deux antennes \(A\) et \(B\) sont distantes de \(10\) km. On veut installer un relais \(R\) à égale distance des deux antennes, et à \(8\) km de chacune.
- Sur quelle droite doit se trouver \(R\) ?
- Construire \(R\) à l'échelle \(1\) cm pour \(2\) km, puis vérifier que la construction est possible.
Correction
- Sur la médiatrice de \([AB]\).
- À l'échelle, \(AB = 5\) cm et \(RA = RB = 4\) cm. Comme \(5 < 4 + 4\), le triangle existe : la construction est possible (deux positions, de part et d'autre de \([AB]\)).
Exercice 5
\(M\) est un point tel que \(MA = MB\) et \(N\) un autre point tel que \(NA = NB\), avec \(M\neq N\). Que représente la droite \((MN)\) pour le segment \([AB]\) ? Justifier.
Correction
\(M\) et \(N\) sont tous deux sur la médiatrice de \([AB]\), et deux points distincts déterminent une seule droite : \((MN)\) est la médiatrice de \([AB]\).
Exercice 6
Un triangle a pour périmètre \(20\) cm et deux de ses côtés mesurent \(6\) cm et \(9\) cm.
- Calculer le troisième côté.
- Vérifier que le triangle existe.
Correction
- \(20 - 6 - 9 = 5\) cm.
- Le plus grand côté est \(9\) et \(9 < 6 + 5 = 11\) : le triangle existe.