Série 2 — constructions, raisonnement et petits problèmes.
Exercice 1
Tracer une droite \((D)\) et un point \(A\) qui n'est pas sur \((D)\).
- Construire la perpendiculaire à \((D)\) passant par \(A\) ; elle coupe \((D)\) en \(H\).
- Placer deux points \(M\) et \(N\) sur \((D)\), différents de \(H\). Comparer \(AH\), \(AM\) et \(AN\).
Correction
- \(AH\) est la distance de \(A\) à \((D)\) : c'est le plus court chemin, donc \(AH < AM\) et \(AH < AN\).
Exercice 2
\(A\), \(B\), \(C\) sont trois points alignés dans cet ordre avec \(AC = 12\) cm et \(AB = 5\) cm. \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([BC]\).
- Calculer \(BC\).
- Calculer \(IB\) et \(BJ\), puis \(IJ\).
Correction
- \(BC = 12 - 5 = 7\) cm.
- \(IB = 2{,}5\) cm et \(BJ = 3{,}5\) cm, donc \(IJ = 2{,}5 + 3{,}5 = 6\) cm (soit la moitié de \(AC\)).
Exercice 3
Sur une droite, on place \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) dans cet ordre avec \(AB = 3\) cm, \(BC = 4\) cm et \(CD = 3\) cm.
- Calculer \(AD\).
- Le point \(B\) est-il le milieu de \([AC]\) ? Et le milieu de \([AD]\) ?
Correction
- \(AD = 3 + 4 + 3 = 10\) cm.
- \(AB = 3\) et \(BC = 4\) : \(B\) n'est pas le milieu de \([AC]\). \(AB = 3\) et \(BD = 7\) : ce n'est pas non plus le milieu de \([AD]\).
Exercice 4
\((D)\) et \((D')\) sont deux droites parallèles, et \((\Delta)\) coupe \((D)\) en \(A\) en formant un angle droit.
- Que peut-on dire de \((\Delta)\) et \((D')\) ? Citer la propriété.
- \((\Delta)\) coupe \((D')\) en \(B\) avec \(AB = 4\) cm. Que représente \(AB\) pour le point \(A\) et la droite \((D')\) ?
Correction
- \((\Delta)\perp(D')\) d'après P3.
- \(AB\) est la distance du point \(A\) à la droite \((D')\).
Exercice 5
Un cercle de centre \(O\) a pour rayon \(4\) cm. Les points \(A\), \(B\), \(C\) vérifient \(OA = 4\) cm, \(OB = 3{,}9\) cm, \(OC = 4{,}1\) cm. Placer chaque point par rapport au cercle.
Correction
\(A\) est sur le cercle, \(B\) est à l'intérieur, \(C\) est à l'extérieur.
Exercice 6
Deux cercles de centres \(O\) et \(O'\) et de même rayon \(3\) cm se coupent en \(A\) et \(B\).
- Que peut-on dire des longueurs \(OA\), \(OB\), \(O'A\), \(O'B\) ?
- En déduire la nature du quadrilatère \(OAO'B\).
Correction
- Elles sont toutes égales à \(3\) cm.
- Les quatre côtés sont égaux : \(OAO'B\) est un losange.