Série 2 — périmètres composés, aires et problèmes concrets. On prendra \(\pi\approx3{,}14\).
Exercice 1
Un demi-disque a un rayon de \(8\) cm.
- Calculer la longueur de l'arc.
- Calculer le périmètre complet de la figure (arc + diamètre).
- Calculer son aire.
Correction
- \(\dfrac{2\pi\times8}{2} = 8\pi\approx25{,}1\) cm.
- \(8\pi + 16\approx41{,}1\) cm.
- \(\dfrac{\pi\times8^2}{2} = 32\pi\approx100{,}5\ \mathrm{cm}^2\).
Exercice 2
Un quart de disque a un rayon de \(6\) cm. Calculer son aire.
Correction
\(\dfrac{\pi\times36}{4} = 9\pi\approx28{,}3\ \mathrm{cm}^2\).
Exercice 3
Une roue de vélo a un diamètre de \(70\) cm.
- Quelle distance parcourt-elle en un tour ?
- Combien de tours fait-elle sur \(1\) km ?
Correction
- \(P = \pi\times70\approx219{,}8\) cm, soit environ \(2{,}2\) m.
- \(1\,000\div2{,}198\approx455\) tours.
Exercice 4
Dans un carré de côté \(10\) cm, on inscrit le plus grand disque possible.
- Donner le rayon du disque.
- Calculer l'aire de la partie du carré qui n'est pas recouverte.
Correction
- \(r = 5\) cm.
- \(100 - 25\pi\approx100 - 78{,}5 = 21{,}5\ \mathrm{cm}^2\).
Exercice 5
Une piste circulaire a une longueur de \(400\) m. Calculer son rayon (arrondi au mètre).
Correction
\(2\pi r = 400\) donc \(r = \dfrac{400}{2\pi}\approx63{,}7\), soit environ \(64\) m.
Exercice 6
Deux cercles concentriques ont pour rayons \(7\) cm et \(4\) cm. Calculer l'aire de la couronne comprise entre les deux.
Correction
\(\pi\times49 - \pi\times16 = 33\pi\approx103{,}6\ \mathrm{cm}^2\).
Exercice 7
\([AB]\) est un diamètre d'un cercle de centre \(O\) et \(M\) est un point du cercle. Que peut-on dire de \(OM\) par rapport à \(OA\) et \(OB\) ?
Correction
\(OM = OA = OB = r\) : les trois sont des rayons du même cercle. Le triangle \(OAM\) est donc isocèle en \(O\).