Série 2 — pour aller plus loin : problèmes, proportions et raisonnement.
Exercice 1
Un terrain de \(1\,200\) m² est partagé ainsi : \(\frac{1}{3}\) pour la maison, \(\frac{1}{4}\) pour le jardin, le reste pour la cour.
- Calculer l'aire de la maison et celle du jardin.
- Quelle fraction du terrain représente la cour ? Calculer son aire.
Correction
- Maison : \(1200\div3 = 400\) m². Jardin : \(1200\div4 = 300\) m².
- \(1 - \frac13 - \frac14 = \frac{12 - 4 - 3}{12} = \frac{5}{12}\) ; aire : \(1200\div12\times5 = 500\) m² (et \(400 + 300 + 500 = 1200\)).
Exercice 2
Trouver le nombre manquant :
- Les \(\frac{3}{5}\) d'un nombre valent \(24\). Quel est ce nombre ?
- Les \(\frac{2}{7}\) d'une somme valent \(30\) DH. Quelle est cette somme ?
Correction
- \(\frac{3}{5}\) valent \(24\), donc \(\frac{1}{5}\) vaut \(8\) et le nombre vaut \(40\).
- \(\frac{1}{7}\) vaut \(15\) DH, donc la somme vaut \(105\) DH.
Exercice 3
Parmi les fractions \(\frac{14}{21}\) ; \(\frac{10}{15}\) ; \(\frac{8}{14}\) ; \(\frac{20}{30}\), lesquelles sont égales ? Justifier en simplifiant.
Correction
\(\frac{14}{21} = \frac{2}{3}\) ; \(\frac{10}{15} = \frac{2}{3}\) ; \(\frac{8}{14} = \frac{4}{7}\) ; \(\frac{20}{30} = \frac{2}{3}\). Donc \(\frac{14}{21} = \frac{10}{15} = \frac{20}{30}\), et \(\frac{8}{14}\) est différente.
Exercice 4
Deux fromagers vendent le même fromage : le premier \(\frac{3}{4}\) de kg à \(45\) DH, le second \(\frac{2}{3}\) de kg à \(38\) DH. Lequel est le moins cher au kilogramme ?
Correction
Premier : \(45\div3\times4 = 60\) DH le kg. Second : \(38\div2\times3 = 57\) DH le kg. Le second est moins cher.
Exercice 5
Sur une demi-droite graduée d'unité \(6\) cm, placer \(\frac{1}{2}\), \(\frac{2}{3}\) et \(\frac{5}{6}\). Lequel est le plus proche de \(1\) ?
Correction
\(\frac12\) est à \(3\) cm, \(\frac23\) à \(4\) cm, \(\frac56\) à \(5\) cm de l'origine. Le plus proche de \(1\) (donc de \(6\) cm) est \(\frac{5}{6}\).
Exercice 6
Compléter avec une fraction : \(\frac{2}{3} < \dots < \frac{5}{6}\). (Indication : écrire les deux fractions au dénominateur \(12\).)
Correction
\(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\) et \(\frac{5}{6} = \frac{10}{12}\) : la fraction \(\frac{9}{12} = \frac{3}{4}\) convient.
Exercice 7
Un réservoir est rempli aux \(\frac{3}{8}\) de sa capacité ; il contient alors \(150\) litres.
- Quelle est la capacité du réservoir ?
- Combien de litres faut-il ajouter pour le remplir aux \(\frac{3}{4}\) ?
Correction
- \(\frac{1}{8}\) vaut \(50\) L, donc la capacité est \(400\) L.
- Les \(\frac34\) de \(400\) font \(300\) L : il faut ajouter \(300 - 150 = 150\) L.