Série 2 — figures dans un repère, milieux et quatrième sommet.
Exercice 1
\(A(-2\,;1)\), \(B(4\,;1)\) et \(C(4\,;5)\).
- Placer ces points et calculer \(AB\) et \(BC\).
- Quelle est la nature du triangle \(ABC\) ?
- Calculer son aire.
Correction
- \(AB = 6\) et \(BC = 4\).
- \([AB]\) est horizontal et \([BC]\) vertical : le triangle est rectangle en \(B\).
- \(\mathcal{A} = \dfrac{6\times4}{2} = 12\) unités d'aire.
Exercice 2
\(I(3\,;4)\) est le milieu de \([AB]\) et \(A(1\,;2)\). Calculer les coordonnées de \(B\).
Correction
\(x_B = 2\times3 - 1 = 5\) et \(y_B = 2\times4 - 2 = 6\), donc \(B(5\,;6)\).
Exercice 3
\(A(-1\,;2)\), \(B(3\,;2)\) et \(C(5\,;5)\) sont trois sommets d'un parallélogramme \(ABCD\). Calculer les coordonnées de \(D\).
Correction
Les diagonales \([AC]\) et \([BD]\) ont le même milieu. Milieu de \([AC]\) : \((2\,;3{,}5)\). Donc \(x_D = 2\times2 - 3 = 1\) et \(y_D = 2\times3{,}5 - 2 = 5\) : \(D(1\,;5)\).
Exercice 4
Sur une droite graduée, \(M\) a pour abscisse \(-7\) et \(N\) pour abscisse \(5\).
- Calculer \(MN\).
- Donner l'abscisse du milieu de \([MN]\).
Correction
- \(MN = 5 - (-7) = 12\).
- \(\dfrac{-7 + 5}{2} = -1\).
Exercice 5
Les points \(A(0\,;0)\), \(B(6\,;0)\), \(C(8\,;4)\) et \(D(2\,;4)\) forment un quadrilatère.
- Montrer que \(AB = DC\).
- Que peut-on dire de \(ABCD\) ?
Correction
- \(AB = 6 - 0 = 6\) et \(DC = 8 - 2 = 6\) : ils sont égaux, et tous deux horizontaux donc parallèles.
- Deux côtés opposés parallèles et de même longueur : \(ABCD\) est un parallélogramme.
Exercice 6
Un point \(P\) a pour coordonnées \((a\,;-3)\) et son symétrique par rapport à l'origine est \((4\,;b)\). Trouver \(a\) et \(b\).
Correction
Le symétrique de \((a\,;-3)\) est \((-a\,;3)\), donc \(-a = 4\) et \(b = 3\) : \(a = -4\) et \(b = 3\).
Exercice 7
Placer les points \(A(-4\,;0)\), \(B(0\,;3)\), \(C(4\,;0)\) et \(D(0\,;-3)\).
- Quelle est la nature de \(ABCD\) ? Justifier avec les diagonales.
- Calculer son aire.
Correction
- Les diagonales \([AC]\) et \([BD]\) se coupent en leur milieu \(O(0\,;0)\) et sont perpendiculaires (l'une horizontale, l'autre verticale) : \(ABCD\) est un losange.
- \(\mathcal{A} = \dfrac{8\times6}{2} = 24\) unités d'aire.