Série 2 — démonstrations complètes et figures à plusieurs étapes.
Exercice 1
\((D)\parallel(D')\) sont coupées par une sécante \((\Delta)\). Un des huit angles mesure \(73°\). Donner les mesures des sept autres.
Correction
Quatre angles mesurent \(73°\) (l'angle, son opposé par le sommet, son correspondant et l'alterne-interne) et quatre mesurent \(107°\).
Exercice 2
Dans une figure, \(\widehat{xOy} = 55°\) et \(\widehat{x'O'y'} = 55°\) sont des angles correspondants formés par \((D)\), \((D')\) et une sécante. Rédiger une démonstration montrant que \((D)\parallel(D')\).
Correction
On sait que les angles \(\widehat{xOy}\) et \(\widehat{x'O'y'}\) sont correspondants et de même mesure. Or, si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants égaux, alors elles sont parallèles. Donc \((D)\parallel(D')\).
Exercice 3
\(ABCD\) est un parallélogramme. En utilisant les angles alternes-internes, montrer que \(\widehat{A} + \widehat{B} = 180°\).
Correction
\((AD)\parallel(BC)\) et \((AB)\) est une sécante : \(\widehat{A}\) et \(\widehat{B}\) sont deux angles situés du même côté de la sécante, entre les parallèles. Ils sont donc supplémentaires : \(\widehat{A} + \widehat{B} = 180°\).
Exercice 4
Deux droites \((D)\) et \((D')\) sont coupées par une sécante. Les angles alternes-internes mesurent \(3x + 10\) et \(5x - 20\) degrés. Pour quelle valeur de \(x\) les droites sont-elles parallèles ?
Correction
\(3x + 10 = 5x - 20\) donne \(2x = 30\) et \(x = 15\) : les angles mesurent alors \(55°\) chacun.
Exercice 5
Dans un triangle \(ABC\), \(\widehat{A} = 48°\) et \(\widehat{B} = 67°\). La parallèle à \((BC)\) passant par \(A\) coupe la figure en formant trois angles en \(A\).
- Donner la mesure de chacun.
- Vérifier que leur somme vaut \(180°\).
Correction
- Les deux angles extérieurs valent \(67°\) (alterne-interne de \(\widehat{B}\)) et \(65°\) (alterne-interne de \(\widehat{C} = 180 - 48 - 67\)) ; celui du milieu est \(\widehat{A} = 48°\).
- \(67 + 48 + 65 = 180°\).
Exercice 6
\((D_1)\parallel(D_2)\) et \((D_2)\parallel(D_3)\). Une sécante coupe les trois droites. Un angle sur \((D_1)\) mesure \(82°\). Que vaut l'angle correspondant sur \((D_3)\) ? Justifier.
Correction
\(82°\) : par transitivité, \((D_1)\parallel(D_3)\), donc les angles correspondants sont égaux.