Série 2 — démonstrations, constructions et problèmes.
Exercice 1
\(ABCD\) est un parallélogramme tel que \(AC = BD\). Quelle est sa nature ? Justifier.
Correction
Un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle.
Exercice 2
\(EFGH\) est un parallélogramme avec \(EF = FG\). Quelle est sa nature ? Justifier.
Correction
Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.
Exercice 3
Les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et ont la même longueur. Quelle est sa nature ?
Correction
C'est un carré : parallélogramme (milieu) + rectangle (longueurs égales) + losange (perpendiculaires).
Exercice 4
Un losange a une aire de \(84\ \mathrm{cm}^2\) et une diagonale de \(14\) cm. Calculer l'autre diagonale.
Correction
\(\dfrac{14\times d}{2} = 84\) donc \(7d = 84\) et \(d = 12\) cm.
Exercice 5
Un rectangle a un périmètre de \(36\) cm et sa longueur mesure \(4\) cm de plus que sa largeur.
- Mettre en équation et calculer les dimensions.
- Calculer son aire.
Correction
- \(2(x + x + 4) = 36\) donc \(4x = 28\) et \(x = 7\) : largeur \(7\) cm, longueur \(11\) cm.
- \(\mathcal{A} = 7\times11 = 77\ \mathrm{cm}^2\).
Exercice 6
\(ABCD\) est un carré de centre \(O\) et de côté \(5\) cm. \(I\), \(J\), \(K\), \(L\) sont les milieux des côtés.
- Quelle est la nature de \(IJKL\) ?
- Que vaut l'aire de \(IJKL\) par rapport à celle de \(ABCD\) ?
Correction
- \(IJKL\) est un carré (par symétrie, ses quatre côtés sont égaux et ses angles droits).
- Son aire vaut la moitié : \(\mathcal{A}_{ABCD} = 25\ \mathrm{cm}^2\) donc \(\mathcal{A}_{IJKL} = 12{,}5\ \mathrm{cm}^2\).
Exercice 7
Construire un losange \(ABCD\) dont les diagonales mesurent \(8\) cm et \(6\) cm. Décrire les étapes et calculer son aire.
Correction
On trace \([AC] = 8\) cm, son milieu \(O\), puis la perpendiculaire à \((AC)\) en \(O\) ; on place \(B\) et \(D\) à \(3\) cm de part et d'autre. Aire : \(\dfrac{8\times6}{2} = 24\ \mathrm{cm}^2\).