Série 2 — démonstrations, constructions et calculs combinés.
Exercice 1
\(ABCD\) est un parallélogramme de centre \(O\). \(E\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \(B\).
- Montrer que \(BE = DC\).
- Que peut-on dire du quadrilatère \(BECD\) ?
Correction
- \(B\) est le milieu de \([AE]\) donc \(BE = AB\) ; or \(AB = DC\), donc \(BE = DC\).
- \([BE]\) et \([DC]\) sont parallèles (tous deux portés par des droites parallèles à \((AB)\)) et de même longueur : \(BECD\) est un parallélogramme.
Exercice 2
Dans un parallélogramme \(ABCD\), \(\widehat{A}\) mesure le double de \(\widehat{B}\). Calculer les quatre angles.
Correction
\(\widehat{A} + \widehat{B} = 180°\) avec \(\widehat{A} = 2\widehat{B}\), donc \(3\widehat{B} = 180\) et \(\widehat{B} = 60°\). Les angles sont \(120°\), \(60°\), \(120°\) et \(60°\).
Exercice 3
Le périmètre d'un parallélogramme est \(34\) cm et un côté mesure \(5\) cm de plus que l'autre. Calculer les deux côtés.
Correction
\(2(x + x + 5) = 34\) donc \(4x + 10 = 34\), \(x = 6\) : les côtés mesurent \(6\) cm et \(11\) cm.
Exercice 4
\(ABCD\) est un parallélogramme. \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(J\) celui de \([DC]\). Montrer que \(AIJD\) est un parallélogramme.
Correction
\(AI = \frac{AB}{2}\) et \(DJ = \frac{DC}{2}\) ; comme \(AB = DC\), on a \(AI = DJ\). De plus \((AI)\parallel(DJ)\) car \((AB)\parallel(DC)\). Deux côtés opposés parallèles et de même longueur : \(AIJD\) est un parallélogramme.
Exercice 5
Un parallélogramme a pour côtés \(7\) cm et \(10\) cm. La hauteur relative au côté de \(10\) cm mesure \(4\) cm.
- Calculer l'aire.
- En déduire la hauteur relative au côté de \(7\) cm.
Correction
- \(\mathcal{A} = 10\times4 = 40\ \mathrm{cm}^2\).
- \(h = \dfrac{40}{7}\approx5{,}7\) cm.
Exercice 6
Construire un parallélogramme \(ABCD\) tel que \(AC = 8\) cm, \(BD = 6\) cm et les diagonales se coupent en formant un angle de \(60°\). Décrire les étapes.
Correction
On trace \([AC]\) de \(8\) cm et son milieu \(O\), puis une droite passant par \(O\) formant un angle de \(60°\) avec \((AC)\) ; on y place \(B\) et \(D\) tels que \(OB = OD = 3\) cm. Le quadrilatère \(ABCD\) convient car ses diagonales se coupent en leur milieu.